定积分的换元积分和分部积分.ppt

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1、3.3 定积分的分部积分和换元积分,3.3.1 定积分的换元积分,3.3.2 定积分的分部积分,定理2 微积分学基本定理,复习 牛顿-莱布尼茨公式,牛顿莱布尼茨公式,牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间a,b上的增量F(b)F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，.,例1 求,解,例2 求,解,例3计算,，其中,解,例4计算由曲线、直线 x=2 与x轴围成的图形的面积,解由定积分的几何意义，得,定理 设函数f(x)在区间a,b上连续，若满足下列

2、三个条件：,5.3.1 定积分的换元积分法,上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.,(2)当t在与之间变化时，单调变化且 连续，则,5.3 定积分的积分方法,注意：,(1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即“换元必换限”.,(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量.,(3)新变元的积分限可能，也可能，但一定要求满足，即 对应于，对应于.,例1 求,解,方法二,注:用第一类换元法即凑微分法计算一些定积分时，可以不引入中间变量,例2 计算,解,=,注 用第二类换元法计算定积分时，由于引入了新的积分变量，因此，必须根据引入的变量代换，相应地变换积分限,例3 求,解,例4,证明,例4表明了连续的奇、偶函数在对称区间a,a上的积分性质，即偶函数在a,a上的积分等于区间0,a上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算.,例5 求,解,例6 证明,证明,5.3.2 分部积分法,例7 求,解,例8 求,解,例 计算,解,例9 求,解,小 结,定积分的计算,1、牛顿-莱布尼茨公式,2、定积分的性质,3、定积分的换元积分法,4、定积分的分部积分法,