定理2比较审敛法.ppt

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1、1,第十章 级数,第一节 数项级数,第二节 幂级数第三节 傅立叶级数,2,第一节 数项级数,10.1.1 级数的概念及其基本性质 10.1.2 正项级数 10.1.3 任意项级数,3,10.1.1 级数的概念及其基本性质一、常数项级数的概念,引例.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 A.,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,4,定义：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加,简记为,收敛,则称无穷级数,并称 S 为级

2、数的和,记作,5,当级数收敛时,称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散.,显然,6,级数举例,调和级数,几何级数,等比级数,aqn-1,p级数,7,例1.讨论等比级数,(又称几何级数),(q 称为公比)的敛散性.,解:1)若,从而,因此级数收敛,从而,则部分和,因此级数发散.,其和为,8,2).若,因此级数发散;,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时,等比级数收敛;,时,等比级数发散.,则,级数成为,不存在,因此级数发散.,9,例2.判别下列级数的敛散性:,解:(1),所以级数(1)发散;,技巧:,利用“拆项相消”求和,10,(2),所以级数(2)收敛,其和为 1.,

3、技巧:,利用“拆项相消”求和,11,二、无穷级数的基本性质,性质1.若级数,收敛于 S,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛,证:令,则,这说明,收敛,其和为 c S.,说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.,即,其和为 c S.,12,性质2.设有两个收敛级数,则级数,也收敛,其和为,证:令,则,这说明级数,也收敛,其和为,13,说明:,(2)若两级数中一个收敛一个发散,则,必发散.,但若二级数都发散,不一定发散.,例如,(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.,(用反证法可证),14,性质3.,在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数,的敛散性.,证:将级数,的前 k 项去掉,的部

4、分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时,其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况.,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,15,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,证:设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.,注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,但,发散.,因此必有,例如，,用反证法可证,例如,16,例3.判断级数的敛散性:,解:考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散.,17,设收敛级数,则必有,证:,可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.,例如,其一般项为,

5、不趋于0,因此这个级数发散.,性质5.(级数收敛的必要条件),18,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如,调和级数,虽然,但此级数发散.,事实上,假设调和级数收敛于 S,则,但,矛盾!,所以假设不真.,19,10.1.2 正项级数,若,定理 1.正项级数,收敛,部分和序列,有界.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数.,单调递增,收敛,也收敛.,20,都有,定理2(比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1)若级数,则级数,(2)若级数,则级数,证:,设对一切,则有,收敛,也收敛;,发散,也发散.,分别表示两个级数的部分和,则有,是两个正项级数,(常数 k

6、 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨,21,(1)若级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则有,(2)若级数,因此,这说明级数,也发散.,也收敛.,发散,收敛,级数,22,例1.讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解:1)若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散.,发散,23,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.,时,2)若,24,调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,25,证明级数,发散.,证:因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散.,例2.,26,定理3.(比

7、较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散;,(2)当 l=0,(3)当 l=,证:据极限定义,设两正项级数,满足,(1)当 0 l 时,27,由定理 2 可知,同时收敛或同时发散;,(3)当l=时,即,由定理2可知,若,发散,(1)当0 l 时,(2)当l=0时,由定理2 知,收敛,若,28,是两个正项级数,(1)当 时,两个级数同时收敛或发散;,特别取,可得如下结论:,对正项级数,(2)当 且 收敛时,(3)当 且 发散时,也收敛;,也发散.,29,的敛散性.,例3.判别级数,的敛散性.,解:,根据比较审敛法的极限形式知,例4.判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,30,定理

8、4.比值审敛法(Dalembert 判别法),设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当,证:(1),收敛,时,级数收敛;,或,时,级数发散.,由比较审敛法可知,31,因此,所以级数发散.,时,(2)当,说明:当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p 级数,但,级数收敛;,级数发散.,从而,32,解(1),例5.判别下列级数的敛散性,故,收敛.,(2),故,发散.,33,解(3),故,收敛.,比值审敛法失效,改用比较审敛法,由于,而,收敛,34,对任意给定的正数,定理5.根值审敛法(Cauchy判别法),设,为正项级,则,证明提示:,即,分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.,数,

9、且,35,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p 级数,说明:,但,级数收敛;,级数发散.,36,例6.证明级数,收敛于S,似代替和 S 时所产生的误差.,解:,由定理5可知该级数收敛.,令,则所求误差为,并估计以部分和 Sn 近,37,10.1.3 任意项级数一、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数.,定理6.(Leibnitz 判别法),若交错级数满足条件:,则级数,收敛,且其和,其余项满足,38,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S,且,故,39,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?,

10、发散,收敛,收敛,40,二、绝对收敛与条件收敛,定义:对任意项级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级,收敛,数,为条件收敛.,均为绝对收敛.,例如：,绝对收敛；,则称原级,数,条件收敛.,41,定理7.绝对收敛的级数一定收敛.,证:设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛,令,42,例7.证明下列级数绝对收敛:,证:(1),而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,43,(2)令,因此,收敛,绝对收敛.,44,其和分别为,绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.,*定理8.绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.,证明从略),*定理9.(绝对收敛级数的乘法),则对所有乘积,按任意顺序排列得到的级数,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,需注意条件收敛级数不具有这两条性质.,45,练习,设正项级数,收敛,能否推出,收敛?,提示:,由比较判敛法可知,收敛.,注意:,反之不成立.,例如,收敛,发散.,1.,46,2.,则级数,(A)发散;(B)绝对收敛;,(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.,分析:,(B)错;,又,C,47,解,原级数收敛.,证明 un 单调减的方法,？,？,？,