大学微积分教材-第六章.ppt

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1、第六章 定 积 分,实例：求曲边梯形的面积,一、问题的提出,第一节 定积分的概念,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,曲边梯形如图所示，,分割,近似,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,求和,取极限,（1）分割,（3）求和,（4）极限,（2）近似,二、定积分的定义,定义,一点,记为,积分上限,积分下限,积分和,说明：,1.,2.有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积；,3.,可积的充分条件：,4.,5.,规定:,定积分的几何意义：,曲边梯形

2、的面积,曲边梯形的面积的负值,5.,定积分的几何意义：,若要求阴影部分的面积,则为,例1 利用定义计算定积分,解,练习：,P6 习题 6.13.画图,3.利用定积分的几何意义,说明下列等式:,在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小,第二节 定积分的性质,性质1,（此性质可以推广到有限多个函数和的情况）,性质2,(k为常数),性质1,2合称线性性质.,说明：不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.,例如,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,证,性质4,性质5,由极限的保号性,推论1,证,推论1,推论2,证,即,性质6（估值定理）,性质7（定积分中值定理）,证,由闭

3、区间上连续函数的介值定理知，,即,积分中值公式的几何解释：,上的平均值.,解,例1,于是,证明,例2,因为f(x)在a,b上连续，,在(a,b)内至少存在一点c，使得,所以根据积分中值定理，,练习：,P10 习题 6.23(2).5(1)(3)(5).,第三节 微积分基本公式,用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.,定理1(微积分基本定理),构作积分上限函数,第三节 微积分基本公式,用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.,定理1(微积分基本定理),构作积分上限函数,y,第三节 微积分基本公式,用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法

4、.,定理1(微积分基本定理),构作积分上限函数,y,第三节 微积分基本公式,用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.,定理1(微积分基本定理),构作积分上限函数,第三节 微积分基本公式,用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.,定理1(微积分基本定理),构造积分上限函数,证,由积分中值定理得,定理2(原函数存在定理),注：任何连续函数都有原函数,积分上限函数的求导：,设,例1 求下列变上限积分函数的导数.,例2 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,证,例3,由积分中值定理，,或证,例4 已知,注 假设,？,解,Ps.若 则错误,证,令,由零点

5、定理可知，,另一方面，,例5,定理3(微积分基本公式),证,牛顿莱布尼茨公式,所以,牛顿莱布尼茨公式,注意,上述公式通常称为微积分基本公式,它揭示了定积分与不定积分之间的关系,给定积分的计算提供了一种简便而有效的方法.,例5 求,原式,解,解,例7 求,原式,解,解,例8,例9 设,解,证,由Newton-Leibniz公式得,显然F(x)在区间a,b上满足Lagrange中值定理，在区,间(a,b)内至少存在一点 使得,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,小结,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,练习：,P18 习题 6.41.(2)(3)3.4.(3)

6、5.(4)(14)(17),定理,则有,第四节 定积分的换元积分法,注意:,(1),应用定积分的换元法时,多一事:换上下限；少一事:不必回代；,(2),(3),若用“凑微分法”,不用到中间变量，则不必换上下限.,若用“凑微分法”,不用到中间变量，则不必换上下限.,1.换元公式可以反过来使用，即,2.凑微分不换上下限,常用的凑微分公式！,例1,例2,例3,例4 计算,解,令,原式,例5 计算,解,令,原式,例6 计算,解,令,原式,例7,解,所以平均值,例8,解,令,原式,令,原式=,解,证,利用函数的对称性,有时可简化计算.,例10,奇函数,例9,奇函数,例11,证,(1),例11,证,(2)

7、,令,例11,证,(3),令,由此计算,例12 设,解 设,例12 设,解 设,原式两边在0,1上作定积分，则,练习：,P24 习题 6.51.(1)(6)(11)(12)2.(5)3.6.7.,第五节 定积分的分部积分法,定理,例1,例2,例3,例4,例5 计算,与换元法结合.,解,令,原式,例6 计算,解,令,原式,则,解得,例7 设,是可求的，故可采用分部积分法,例8 计算,解,得到递推公式：,而,若n为偶数,则,若n为奇数,则,即,例如，,另外，,例9,设,证：,练习：,P28 习题 6.61.(4)(6)(8)(10),第六节 定积分的应用,一、平面图形的面积,面积元素:,(1)由连

8、续曲线 y=f(x)(f(x)0),直线 x=a,x=b(ab)及x轴所围成的平面图形的面积,面积,若f(x)有正有负,则平面图形的面积为,(2)由连续曲线 y=f(x),y=g(x),直线 x=a,x=b(ab)所围成的平面图形的面积,面积元素:,特别，时,面积元素:,围成的平面图形的面积为,围成的平面图形的面积为,解,先求两曲线的交点,选x为积分变量,例1,例2,围成的平面图形的面积.,解,由对称性,交点,解,两曲线的交点,例3,此题选y为积分变量比较好,选择积分变量的原则：,(1)尽量少分块；(2)积分容易。,解抛物线,3,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4倍,

9、例5,解,例6,二、平行截面面积为已知的立体的体积,解,建立坐标系如图,截面面积,所以立体体积,例7,垂直于 x 轴的截面为直角三角形,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,三、旋转体的体积,a,b,体积元素:,旋转体的体积为,直线OP的方程为,解,例8,例9,解,例10,解,利用圆面积,例11,解,下面再介绍一个方法.,上例:,套筒法,体积元素:,例12,解,用“套筒法”：,练习：,P45 习题 6.71.(2)(8)3.5.6.(4),四、经济应用问题举例,1、成本,为固定成本,2、收益,3、产量,若已知某产品总产量Q的变化率f(t

10、)是连续函数，,四、经济应用问题举例,解,成本函数为,某商品每周产量为Q，固定成本为200元，成本函数变化率为,例13,解,求成本函数。,如果该商品的销售单价为20元，且假设产品可以全部售出，求利润函数L(Q)，并问每周产量为多少时，可获得最大利润？,成本函数为,销售收入为,所以利润函数为,得唯一驻点,所以当每周产量 时,利润最大,最大利润为,例14,解,所以,所以需求函数为,例15 已知某商品总产量的变化率,t的单位是年，试求,(1)时间t在区间2,8上变化时，总产量的增量,(2)总产量函数,(3)该商品前6年的平均年产量,解(1),(2),(3),例16,解,所以需求函数为,练习：,P45

11、 习题 6.7 9.10.,第七节 广义积分,在定积分的定义中,有两个限制:(1)积分区间有限；(2)被积函数有界.当这两个条件至少有一个不满足时,称广义积分.,一、无穷限的广义积分,定义,一、无穷限的反常积分,定义,类似地，,例1,例2,例3,解,令,原式,解,例4,所以积分发散；,所以,二、无界函数的广义积分,定义,如果极限,即,存在,则称广义积分收敛,即,例5 计算广义积分,解,0为奇点，,原式,注,无界函数的广义积分，也可形式上使用,牛顿莱布尼兹公式。如,例6,例7,例8,例9,解,是奇点，,注意：,例10,解,发散；,所以,例如，,收敛；,发散.,注意比较:,2.无界函数的广义积分,

12、1.无穷限的广义积分,（注意：不能忽略内部的奇点）,小结,练习：,P53 习题6.81.(3)(4)(9)(10)2.,习题课,例1,计算,解,原式,偶函数,例2,计算,解,原式,例3,计算,解,原式,例4,计算,解,所以原式,例5,计算,解法1,原式,解法2,原式,与原式相加,得,所以原式,例6,设 f(x)是连续函数,且,两边在0,1上积分,求 f(x).,即,解,解,例7,计算广义积分,例8,解,原式,计算广义积分,例9,解,故广义积分发散.,原式,(99四6),计算广义积分,例10,解,原式,例11,证,由零点定理知,根存在.,又因为,故根唯一.,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,求和,取极限,（1）分割,（3）求和,（4）极限,（2）近似,