多元生命函数.ppt

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1、多元生命函数,本章结构,多元生命函数简介 连生状况最后生存状况生命模型人寿保险与生存年金在特殊死亡律假定下求值,本章中英文单词对照,多元生命函数连生状态最后生存状态共同震动继承年金,Multiple life functionJoint-life statusLast-survivor statusCommon shockReversionary annuities,第一节,多重生命函数简介,多重生命函数的定义及作用,多元生命函数的定义：涉及多个生命剩余寿命的函数。作用养老金给付场合合伙人联保场合遗产税计算场合,多元剩余寿命的联合分布,联合密度函数联合分布函数,多元剩余寿命的联合分布,边际生存

2、函数,第二节,多元生命状况,连生状况,连生状况定义：当所有成员都活着时的状况，称为连生状况。当有一个成员死亡时，连生状况就结束了。简记连生状况为：连生状况剩余寿命等于：连生状况剩余寿命的性质：求连生状况的剩余寿命实质上就是m个生命的最小次序统计量,两个体连生状况的生命函数,分布函数生存函数,两个体连生状况的生命函数,密度函数死亡效力函数,两个体连生状况的生命函数,两独立个体至少有一个在第K年死亡的概率连生状况整值剩余寿命为k的概率,两个体连生状态的生命函数,剩余寿命期望,最后生存状况,最后生存状况定义：只要有一个成员活着时的状况，称为最后生存状况。只有当所有成员都死亡时，最后生命状况才算结束。

3、简记为：最后生存状况的剩余寿命等于：最后生存状况的剩余寿命的性质：最后生存状况的剩余寿命实际上就是m个生命的剩余寿命的最大次序统计量,多元生存状况剩余寿命的关系,两个体最后生存状况的生命函数,分布函数 等价公式,两个体最后生存状况的生命函数,生存函数 等价公式,两个体最后生存状况的生命函数,密度函数 等价公式,两个体最后生存状况的生命函数,死亡效力函数,两个体最后生存状况的生命函数,最后生存状况整值剩余寿命为k的概率等价公式,两个体最后生存状态的生命函数,剩余寿命期望,例1：,假定（60）和（65）服从Moivre 生存模型，计算,例1答案,例1答案,例2,假定：不抽烟的人的死亡力是同年龄抽烟

4、的人的死亡力的一半。不抽烟的人数满足如下方程有一对夫妻丈夫（65）不抽烟，妻子（55）抽烟，求他们还能共同生活的期望时间。,例2答案,联合生命状况剩余寿命协方差分析,第三节,联合生命模型,简介,联合生命模型分为两类：Common Skhoc 模型：它假定个体之间的剩余寿命随机变量相互独立的模型。这种模型假定有时与现实情况不符，但易于分析。Copulas模型：它假定个体之间的剩余寿命随机变量不独立的模型。这种模型假定更符合实际情况，但不易于分析。,Common Shock 模型,如果有 满足且有一个Common Shock 随机变量Z，它独立于,且服从指数生存函数令则,联合生命状况分析,记边际生

5、存函数为 连生状况剩余寿命生存函数为 最后生存状况剩余寿命生存函数为,第四节,人寿保险与生存年金,寿险趸缴纯保费的确定原理,联合生命状况下寿险趸缴保费的确定,连生状况最后生存状况,联合生命状况下生存年金的确定,原理连生状况最后生存状况,连生状况和最后死亡状况的关系,例3,例1续，假定计算,例3答案（1）,例3答案（2）,单重次顺位函数,在n年之内，(x)先于(y)死亡,单重次顺位函数,在n年之内，(y)后于(x)死亡,顺位保险,例4,例1续求,例5,假定有一(20)岁女性，一(50)岁男性已知求两者中第一个死亡者的期望寿命,例5答案,例4答案（1）,例4答案（2）,继承年金(reversion

6、ary annuities),继承年金的定义：在联合生命状态中，只有在其中一个生命（v）死亡之后，另一个生命（u）才能开始获得年金。这种年金叫做继承年金，简记为。终身继承年金定期继承年金,第五节,特殊死亡律假定下求值,Gomperz假定下,目的：寻找能替代连生状态的单个生命状态w，即已知在Gomperz假定下有，则在两生命独立假定下有由这个等式可求出w，于是,Makeham假定下,由于Makeham假定的死亡效力函数含有常数项，所以无法用单个生命状态替换连生状态，但是可以考虑用两个同年龄的连生状态（w，w）作替换，即已知在Makeham假定下有，则在两生命独立假定下有由这个等式可求出，于是,例6,假定生命表服从Makeham分布且多元生命状态20:30可以被W:W代替。假定多元生命状态10:W可以被Z:Z代替求Z.,例6答案,均匀分布假定,在均匀分布假定下，趸缴纯保费和生存年金具有单生命状态下近似的性质,补充案例1,假定有一20岁的女性和一50岁的男性。已知求第一个死亡的期望年龄。,补充案例2,求（10）和（20）都能活到他们目前年龄的两倍且至少有一个能活到他目前年龄的3倍的概率。,补充案例3,求（25）和（45）死亡间隔在10年内的概率。,补充案例4,确定该年金产品的现时值（X）和（Y）都存活时给付1（X）死亡后降到1/3（Y）死亡后降到1/4已知,