多元函数的极限与连续、偏导数.ppt

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1、莫兴德广西大学数信学院,微 积 分,链接目录,参考书,1赵树嫄.微积分.中国人民出版社2同济大学.高等数学.高等教育出版社,第八章 多元函数,空间解析几何简介多元函数的概念二元函数的极限与连续偏导数全微分复合函数的微分法隐函数的微分法二元函数的极值二重积分,8-3 二元函数的极限与连续8-4 偏导数,1、多元函数的极限,用平面上(x0,y0),(x,y)的距离,（1）定义中 的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的.,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等。,说明：,证,当 时

2、，,原结论成立,例2 求证,例3 求极限,解,其中,例4 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,确定极限不存在的方法：,2、二元函数的连续性,解,取,当 时,故函数在(0,0)处连续.,例6 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,闭区域上连续函数的性质,（1）最大值和最小值定理,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,（2）介值定理,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,多元初等函数：由多元多项式及基本初

3、等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数。,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,多元函数的定义,多元函数极限的概念,（注意趋近方式的任意性）,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,3、小结,思考题,不能.,例,取,原因为若取,思考题解答,练 习 题,二.求下列各极限:,练习题答案,偏 导 数,我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变

4、量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。,一、偏导数的定义及其计算法,如果函数z=f(x,y)在区域D 内任一点(x,y)处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x、y 的函数，它就称为函数 对自变量的偏导数。,记为：,同理可以定义函数 z=f(x,y)对自变量y的偏导数,记为：,偏导数的求法,求 时把 y 视为常数而对 x 求导,求 时把 x 视为常数而对 y 求导,这仍然是一元函数求导问题,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,一般地 设,解,证,原结论成立,解,不存在,证,有关偏导数的几点说明：,、,

5、、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求,计算 f x(x0,y0)时可先将 y=y0 代入 f(x,y),再对 x 求导,然后代入 x=x0,计算 f y(x0,y0)时同理,解,3、,4、,偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量。,5、,若 f(x,y)=f(y,x),则称 f(x,y)关于 x,y 具有轮换对称性,在求 时,只需将所求的,中的 x,y 互换即可,6、偏导数存在与连续的关系,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,7、偏导数的几何意义,如图,几何意义:,二、高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：,原函数图形,偏导函数图形,偏导函数图形,二阶混合偏导函数图形,解,问题：,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？,解,三、小结,偏导数的定义,（偏增量比的极限）,偏导数的计算、偏导数的几何意义,高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,（相等的条件）,思考题,思考题解答,不能.,例如,练 习 题,练习题答案,