复变函数课件6-2分式线性映射.ppt

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1、第二节 分式线性映射,一、分式线性映射的概念,二、几种简单的分式线性映射,三、分式线性映射的性质,四、小结与思考,课件,2,一、分式线性映射的概念,称为分式线性映射.,说明:,否则,由于,那末整个z平面映射成 w平面上的一点.,小知识,课件,3,分式线性映射的逆映射,也是分式线性映射.,2)由,3)两分式线性映射,仍复合为分式线性映,课件,4,4)分式线性映射,一个一般形式的分式线性映射是由下列三种,特殊的简单映射复合而成:,课件,5,二、几种简单的分式线性映射,平移映射,(为方便起见,令w平面与z平面重合),课件,6,二、几种简单的分式线性映射,平移映射,(为方便起见,令w平面与z平面重合)

2、,课件,7,旋转与伸长(或缩短)变换,事实上,设,那末,因此,把z先转一个角度,课件,8,关于横轴对称,反演变换,此映射可进一步分解为,欲由点z作出点w,可考虑如下作图次序:,关键:,课件,9,对称点的定义:,设C为以原点为中心,r为半径的圆周.在以,满足关系式,那末就称这两点为关于这圆周的对称点.,规定:无穷远点的对称点是圆心O.,课件,10,.,.,设P在C外,从P作C的切线PT,由T作OP的垂,作图:,.,课件,11,故可知:,.,.,.,关于单位圆对称,关于实轴对称,课件,12,三、分式线性映射的性质,1.一一对应性,例如:,结论:分式线性映射在扩充复平面上一一对应.,课件,13,2.

3、保角性,课件,14,综上所述知:,课件,15,综上所述:,定理一 分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的，且具有保角性,课件,16,3.保圆性,所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为圆周的性质.,特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周.,1)映射,特点:,所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.,课件,17,2)映射,若z平面上圆方程为:,令,有,代入z平面圆方程得其象曲线方程:,即,所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.,课件,18,3)分式线性映射,定理二 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射,成扩充w平面上的圆周,即具有保圆性.,说明:如果给定的圆周或直线上没有点映射成无,穷远点,那末它就映射

4、成半径为有限的圆周;,有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线.,如果,课件,19,4.保对称性,对称点的特性,.,.,.,课件,20,.,.,.,课件,21,结论,充要条件是:,课件,22,即分式线性映射具有保对称性.,定理三,课件,23,证,分式线性映射,证毕,课件,24,小知识,分式线性映射首先由德国数学家默比乌斯(17901868)研究,所以也称为默比乌斯映射.,对每一个固定的w,此式关于z是线性的;对每一,个固定的z,此式关于w也是线性的,因此称上式,是双线性的.分式线性映射也称双线性映射.,默比乌斯,课件,25,四、小结与思考,分式线性映射是一类比较简单而又很重要的共形映射,应熟悉分式线性映射的分解和复合,及其保角性、保圆性和保对称性.,课件,26,思考题,课件,27,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,课件,28,默比乌斯资料,August Mbius,Born:17 Nov 1790 in Schulpforta,Saxony(now Germany)Died:26 Sept 1868 in Leipzig,Germany,