复变函数的级数.ppt

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1、1,第四章 复变函数的级数,1 复数项级数,2 复变函数项级数,3 泰勒级数,4 洛朗级数,2,1.复数序列的极限,极限：,数列：,？,？,记作,3,复数列收敛与实数列收敛的关系：,证明,4,定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别 两个实数列的敛散性。,5,例1 下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.,解：(1),所以,6,而该极限不存在，,故该极限不存在。,2.复数项级数,表达式,称为复数项级数.,7,前 n 项的和,称为级数的前 n 项部分和.,级数收敛与发散的概念,例2,8,解：,复数项级数与实数项级数收敛的关系：,9,证明：因为,根据复数列收敛定理,10,所以原级数发散.,例3,解,

2、级数收敛的必要条件：,11,重要结论:,证明：,称为条件收敛.,如果 收敛,而 不收敛的级数,12,绝对收敛级数的性质：,证明：由于,而,根据实数项级数的绝对收敛性,知,13,而,解,14,例5,解：级数满足必要条件,而,故原级数发散。,15,例6,故原级数收敛,且为绝对收敛.,所以由正项级数的比值判别法知:,r1时发散r=1时可能收敛或发散,16,1.复变函数项级数,称为复变函数项级数。,称为该级数前n项的部分和.,级数前n项的和,2 复变函数项级数,17,称为该级数在区域D上的和函数.,如果级数在D内处处收敛,那么它的和,收敛：,和函数：,且,？,？,18,幂级数是函数项级数的特殊情形,得

3、到的级数称为,2.幂级数的定义,其中Cn(n=0,1,2,)及z0为常数,幂级数，,即,19,3.幂级数的敛散性,推论：,4.收敛圆与收敛半径,对于一个幂级数,其收敛的情况有三种:,20,(1)对任意的复数都收敛.,例如,级数,该级数在复平面内绝对收敛.,(2)对任意的复数(除 z=z 0外)都发散.,21,(3)既存在使级数发散的复数,也存在使级数收,敛的复数.,通项nnzn不趋于零,例如,级数,由Abel定理，级数在,22,.,.,收敛圆,收敛半径,.,.,由Abel定理的推论，级数在,23,在收敛圆上是收敛还是发散,要对具体级数进行具体分析.,级数对于任意复数都发散时,R=0,级数对于任

4、意复数都收敛时,R=,定义：,注意：,约定：,5.收敛半径的计算方法,24,方法1(比值法),方法2(根值法),解,=1,25,由于,令z=cosj+isinj,则,26,故 在收敛圆周上无收敛点;,故 在收敛圆上处处收敛；,27,6.幂级数的性质,28,29,其中，a与b是不相等的复常数.,30,级数收敛,且其和为,z=b时，级数发散,由Abel定理，级数在,故级数的收敛半径为,解,31,利用逐项积分,得:,所以,解,32,33,1.Taylor级数展开定理,其中,.,d,3 Taylor(泰勒)级数,34,那么,即,因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,且解析函数的泰勒级数唯一

5、.,泰勒展开式是唯一的,说明：,35,函数解析的充要条件是在该点的邻域内 可以展开为幂级数。,若f(z)在z0解析，设为f(z)距z0最近的 奇点，则,36,常用方法:直接法和间接法.,1.直接法:,由Taylor展开定理直接计算系数,2.函数展开为Taylor级数,例如：,？,37,故有,38,2.间接法:,借助于一些已知函数的展开式,结合幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的Taylor展开式.,？,例如：,39,例2,分析,x,y,-1,0,40,即,将展开式两端沿 C 逐项积分,得,解,41,附:常见函数的泰勒展开式,42,43,例3,解,44,例4,解,

6、45,例4,解,上式两边逐项求导,46,例5,解,47,例6,解,且,48,49,1 问题的引入,上节研究了如下的幂级数：,对于一般的函数项级数,应该可以取具有负幂的：,4 Laurent(洛朗)级数,50,负幂项部分,正幂项部分,主要部分,解析部分,同时收敛,Laurent级数,收敛,51,收敛半径,收敛域,收敛半径,收敛域,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分,R,52,结论:,常见的特殊圆环域:,53,任一幂级数，如果收敛，必在圆域内 收敛，且和函数在圆域内解析。,已知：如果Laurent级数收敛，必在圆环域内收敛，且和函数在圆环域内解析。问题：在圆环域内解析的函数是否可以展开成Lau

7、rent级数?,幂级数的特征：,(2)在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数。,54,2.Laurent级数展开定理,C为圆环域内绕 的任,称cn为Laurent系数.,定理,一正向简单闭曲线.,55,证明：,对于第一个积分:,R,r,.,.,56,分析：,收 敛,极限为0,57,对于积分:,注意到,58,59,如果C为在圆环域内绕 的任何一条正向简单,闭曲线.,则,60,Laurent级数展开式必是唯一的,假设Laurent级数还有另一展开式为：,故,区域为圆盘有泰勒展式，为圆环则有洛朗展式。,泰勒展开式是洛朗展开式的特殊情形,61,3.函数的Laurent展开式,(1)直接展开法,利用定理公

8、式计算系数,然后写出,根据Laurent级数展开式的唯一性,运用代换、求导和积分等方法去展开.,(2)间接展开法,62,例如，,都不解析,63,也可以展开成级数：,Laurent展开式是唯一的.,唯一性:指函数在某一个给定的圆环域内的,64,例1,解,由已知函数 的展开式,可以直接得到,65,解,o,x,y,1,66,1,2,o,x,y,由,67,且仍有,68,2,o,x,y,由,仍有,此时,69,解：,例3,70,例3,内的Laurent展开式.,解：,2,i,-i,x,y,o,71,72,73,例3,解：,2,x,y,0,74,作 业,P101 T5(2)(3)(6)T7(1)(2)(4)T8(1)(3)(4),75,复数项级数,函数项级数,充要条件,必要条件,幂级数,收敛半径R,复 变 函 数,绝对收敛,运算与性质,收敛条件,条件收敛,复数列,收敛半径的计算,Taylor 级数,Laurent级数,主要内容,76,5.将下列各函数展开为z的幂级数，并指出 收敛区域。,解：,ab时,77,a=b时，则,78,解2：,79,因为1为f(z)的唯一奇点，故收敛半径R1.,80,解2：,f4(0)=1,7.指出下列函数在指定点z0处的泰勒展开式。,解：,81,82,解：,83,8.将下列函数在指定圆环内展开为洛朗级数。,解1：,解2：,84,解：,85,解1：,86,解2：,