复变函数与积分变换第二章.ppt

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1、任何一个人，都必须养成自学的习惯，即使是今天在学校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟早总要离开学校的！自学，就是一种独立学习，独立思考的能力。行路，还是要靠行路人自己。,科学是老老实实的学问，不可能靠运气来创造发明，对一个问题的本质不了解，就是碰上机会也是枉然。入宝山而空手回，原因在此。,学习有两个必经的过程：即“由薄到厚”和“由厚到薄”的过程.,-华罗庚,第二章 解析函数,2.1 解析函数的概念,2.2 解析函数与调和函数,2.3 初等函数,2.1 解析函数的概念,一 复变函数的导数,二 解析函数概念,三 柯西-黎曼方程,一、复变函数的导数,1.复变函数的导数,则称 在 处可导，,是,的邻域

2、内的任意一点，,如果,存在有限的极限值 A，,且称 A,如果函数 在区域 D 内的每一点都可导，,在 D 内可导，此时即得 的导(函)数,则称,一、复变函数的导数,2.复变函数的微分,则称 在 处可微，,的邻域内的任意一点，,若 在区域 D 内处处可微，则称 在 D 内可微。,如果存在 A，使得,特别地，有,(考虑函数 即可),导数反映的是“变化率”；而微分更能体现“逼近”的思想。,补,3.可导与可微以及连续之间的关系,由此可见，上述结论与一元实函数是一样的。,一、复变函数的导数,例1,解,4.求导法则,(1)四则运算法则,一、复变函数的导数,由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义

3、在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.,4.求导法则,(1)四则运算法则,(2)复合函数的求导法则,(3)反函数的求导法则,其中，与 是两个互为反函数的单值,函数，且,一、复变函数的导数,二、解析函数概念,则称 在 点解析；,(2)如果函数 在区域 D 内的每一点解析，,则称,D,G,z0,(3),函数解析是与区域密切相伴的,要比可导的要求要高得多.,说明,奇点,通常泛指的解析函数是容许有奇点的。,以z=0为奇点。,注解1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析

4、”、“全纯”、“正则”等；注解2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；,注解：,注解3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；注解4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；,注解：,性质,(2)如果函数 在 z 平面上的区域 D 内解析，,则复合函数 在 D 内解析。,函数 在 平面上的区域 G 内解析，,且对 D 内的每一点 z，函数 的值都属于 G，,二、解析函数概念,因此，仅在 点可导，处处不解析。,解,当 时，,当 时，,因此，处处不可导，处处不解析。,

5、寻求研究解析性的更好的方法,任务！,用定义讨论函数的解析性绝不是一种好办法！,三、柯西-黎曼方程,1.点可导的充要条件,且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程：,和 在点 处可微，,(简称 方程),的充要条件是：,求导公式,三、柯西-黎曼方程,1.点可导的充要条件,则,定理（函数在一点可导的充分条件）,三、柯西-黎曼方程,2.区域解析的充要条件,充要条件是：,满足 C-R 方程。,推论,在区域 D 内存在且连续，并满足 C-R 方程，,在区域 D 内解析。,则函数,可知不满足 C-R 方程，,有,有,由 C-R 方程，,由 C-R 方程，,处处不解析。,所以 仅在直线 上可导，,

6、由 C-R 方程可得,求解得,为常数，,证,(常数)；,(2)由 解析，,由 在 D 内为常数，,(常数)，,两边分别对 x,y 求偏导得：,若,若,方程组(A)只有零解，,为常数，,(A),小结与思考,理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法；掌握函数解析的充要条件并能灵活运用.,注意:复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限存在要求与z 趋于零的方式无关,这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.,思考题,1、,2、,2.2 解析函数与调和函数,一、调和函数,则称 为区域

7、D 内的调和函数。,且满足拉普拉斯(Laplace)方程：,二、共轭调和函数,条件是：,在区域 D 内，v 是 u 的共轭调和函数。,则称 v 是 u 的共轭调和函数。,且满足 C-R 方程：,三、构造解析函数,使 解析，且满足指定的条件。,(1)u 和 v 本身必须都是调和函数；,(2)u 和 v 之间必须满足 C-R 方程。,三、构造解析函数,(不妨仅考虑已知实部 u 的情形),(1)由 u 及 C-R 方程,(2)将(A)式的两边对变量 y 进行(偏)积分得：,其中，已知，而 待定。,(3)将(C)式代入(B)式，求解即可得到函数,得到待定函数 v,的两个偏导数：,(C),方法,三、构造

8、解析函数,(1)由 u 及 C-R 方程得到待定函数 v 的全微分：,(2)利用第二类曲线积分(与路径无关)得到原函数：,其中，或,故 是调和函数。,由,由,由,解,(2)求虚部。,由,由,解,(3)求确定常数 c,根据条件,将 代入得,即得,2.3 初等函数,2.3.1 指数函数,2.3.2 对数函数,2.3.3 幂函数,2.3.4 三角函数与反三角函数,2.3.5 双曲函数与反双曲函数,复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们,两者是一样的。,2.3 初等函数,的定义方式尽可能保持一致。,本节主要从下面几个方面来讨论复变函数中的初等函数：,定义、定义域、运算法则、连续性、解析性、

9、单值性等等。,特别是当自变量取实值时，,特别要注意与实初等函数的区别。,一、指数函数,记为 或,注,(1)指数函数是初等函数中最重要的函数，其余的初等函数,都通过指数函数来定义。,(2)借助欧拉公式，指数函数可以这样来记忆：,一、指数函数,性质,(1)是单值函数。,事实上，对于给定的复数,定义中的 均为单值函数。,事实上，在无穷远点有,(2)除无穷远点外，处处有定义。,当 时，,当 时，,(3),因为,性质,(6)是以 为周期的周期函数。,一、指数函数,指数函数 的图形,二、对数函数,对数函数定义为指数函数的反函数。,记作,即,计算,令,二、对数函数,显然对数函数为多值函数。,主值(枝),记为

10、,故有,分支(枝),特别地，当 时,的主值 就是实对数函数。,对于任意一个固定的 k，称 为 的,一个分支(枝)。,二、对数函数,性质,或者指数函数,由反函数求导法则可得,进一步有,(在集合意义下),二、对数函数,性质,三种对数函数的联系与区别：,对数函数Lnz的图形,主值,(2),主值,解,主值,可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。,三、幂函数,称为复变量 z 的幂函数。,还规定：当 a 为正实数，且 时，,但不要将这种“规定”方式反过来作用于指数函数，,?,即,讨论,此时，处处解析，且,此时，除原点外处处解析，且,三、幂函数,讨论,其中，m 与 n 为互质的整数，且,(5)当 为无理数

11、或复数()时，,此时，除原点与负实轴外处处解析，,一般为无穷多值。,此时，除原点与负实轴外处处解析。,且,三、幂函数,的图形,解,解,可见，不要想当然地认为,四、三角函数,启示,由欧拉公式,有,余弦函数,正弦函数,定义,其它三角函数,四、三角函数,性质,周期性、可导性、奇偶性、零点等与实函数一样；,各种三角公式以及求导公式可以照搬；,有界性(即)不成立。,(略),sinz 的图形,cosz 的图形,tanz 的图形,五、反三角函数,记为,同理可得,反三角函数Arctanz的图形,六、双曲函数与反双曲函数,双曲正切函数,双曲余切函数,双曲余弦函数,双曲函数sinhz（或shz）,六、双曲函数与反

12、双曲函数,反双曲正切函数,反双曲余弦函数,反双曲余切函数,小结与思考,复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:,1.指数函数具有周期性,2.三角正弦与余弦不再具有有界性,3.双曲正弦与余弦都是周期函数,思考题,实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?,本章总结,1、复变函数导数与解析函数的概念,2、函数可导与解析的判别方法：1）利用定义；2）利用充（分）要条件,3、解析函数与调和函数的关系,4、复变初等函数,复变函数,连续,初等解析函数,判别方法,可导,解析,指数函数,对数函数,三角函数,双曲函数,幂 函 数,本章内容总结,解析函数与调和函数的关系,第二章 完,1755年，欧拉(Euler)也提到了上述关系式。,附：,知识广角 关于 C-R 条件,附：,人物介绍 柯西,黎曼的著作不多，但却异常深刻，极具创造与想象力。,附：,人物介绍 黎曼,