地学数理方法-第三章-方差分析.ppt
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1、3 方差分析,问题的提出引例1 为研究光照条件对某种有机物降解速度的影响,在人工控制的六种不同光强条件下,测定了这6种有机物24小时内的降解速度,结果以损失百分比表示:,问:光照条件是否影响该有机物的降解速度?不同的光照条件之间是否有显著性差别?,单因素方差分析,3 方差分析,问题的提出引例2 为进行京津风沙源治理工程环境效益的货币化评价,通过大样本小区问卷调查的方法研究不同年龄和收入水平人群对环境税的支付意愿。数据EXCEL表示:,问:同一年龄段不同收入水平的人群对环境税的支付意愿是否有显著性差别?不同收入水平的人群对环境税额的支付意愿是否有显著差别?不同年龄段和收入水平的人群对环境税的支付
2、意愿是否有显著差别?,双因素方差分析,3 方差分析,英国统计学家于1923年提出方差分析方法(analysis of variance)。这种方法是将多个处理的观测值作为一个整体看待,把观测值总离差的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方和及自由度,进而获得不同变异来源总体方差估计值;通过计算这些总体方差的估计值的适当比值,就能检验各样本所属的总体均值是否相等。考察一种因素对实验结果有无显著影响时采用的分析方法。,方差分析的前提条件采样的随机性 数据的独立性 分布的正态性 方差的同质性,3 方差分析,3 方差分析,主要内容3.1 基本概念与原理3.2 单因素方差分析3.3 两因素方差分析
3、3.4 多因素方差分析,3.1 基本概念,基本概念(一)因素(factor)从对试验产生影响的众多原因中挑选出来的,可通过选取不同的条件以供考察的原因。如引例1中的光照条件;引例2中的年龄和收入水平。水平(level)因素在试验中所取的不同条件或状态。若某因素记为A,则因素A的 个不同水平分别记为。如引例1中的六种光强条件;引例2中的三个年龄段和3种收入水平。,3.1 基本概念与原理,基本概念(二)主效应(main effect)某因素单独对试验结果所产生的影响或作用,称该因素的主效应。如引例1中光照条件对有机物降解速度的影响;引例2中的年龄和收入水平两种分别对环境税额的支付意愿。交互效应(i
4、nteraction)在多因素试验中,两个及两个以上的因素相互作用,联合对试验结果产生影响或作用,称为交互效应(作用)。如引例2中年龄收入对环境税额支付意愿的影响。,3.1 基本概念与原理,基本概念(三)条件误差(conditional error)由试验条件不同所造成的差异。方差分析中又称之为组间误差(Within groups)。试验误差(test error)试验中各种偶然(随机)原因对试验结果产生的影响。方差分析中又称之为组内误差(between groups)。误差效应(error effect)误差给试验结果带来的影响。,3.1 基本概念与原理,方差分析原理1.离差的构造数据源 以
5、单因素等重复试验的数据为例,来说明各种离差的构造。下表中因素A有a个水平,每个水平有r个重复。,3.1 基本概念与原理,方差分析原理1.离差的构造离差,在方差分析中通常用离差平方和来构造离差。因为离差平方和具有方差的一些良好特征。,总离差,条件离差,试验误差,3.1 基本概念与原理,方差分析原理 1.离差的构造离差平方和总离差平方和因素A离差平方和(组间离差平方和)误差离差平方和(组内离差平方和),在同样的波动程度下,测定数据越多,计算出的离差平方和就越大,。为此构造相对离差平方和。,3.1 基本概念与原理,方差分析原理 2.相对离差平方和 相对离差平方和离差平方和/平方和的自由,通常,随机变
6、量的自由度是由数据个数n及数据所受的线性约束方程个数m所决定的。当n个随机变量 受到且仅受到下式m个独立方程的约束时,则这n个数据的平方和的自由度为n-m。,一组随机变量 的平均值为,则平方和 的自由度为,3.1 基本概念与原理,方差分析原理2.相对离差平方和总离差平方和的自由度因素A离差平方和的自由度误差e平方和的自由度,3.1 基本概念与原理,方差分析原理2.相对离差平方和总相对离差平方和因素A相对离差平方和误差e相对离差平方和,因素A均方差(方差),误差均方差(方差),3.1 基本概念与原理,方差分析原理3.均方差特性分析 设有a个独立子样 分别来自具有相同方差的独立总体,即 如果,检验
7、原假设 成立,那么,这 个正态总体方差和均值都相等。因此,从这 个完全相同的正态总体中各抽取一个样本为 的子样,相当于从一个正态总体 中分别抽取了 个子样。,4.1 基本概念与原理,方差分析原理3.均方差特性分析,是总体方差的无偏估计,是总体方 差的无偏估计,4.1 基本概念与原理,方差分析原理4.构造统计量F 用它作为检验因素A是否作用显著的统计量。在原假设成立的前提下,比值F的分子和分母都是总体方差的无偏估计量,其值应当很接近于1。如果因素A的均方差 比误差均方差 大的很多,即F值比1大得多,则与原假设相矛盾,据此可以拒绝原假设,即认为因素A的不同条件形成均值不完全相等的a个正态总体。,4
8、.1 基本概念与原理,方差分析原理与程序5.统计量的分布 由 分布定义可知,当 是来自总体 的一个子样时,有 那么如果原假设是正确的,根据 分布的性质,有,4.1 基本概念与原理,方差分析原理与程序5.统计量的分布 综上结论及F分布的定义可知:也即这表明统计量服从F分布。,4.1 基本概念与原理,方差分析原理与程序6.检验统计量 对于给定的检验显著性水平 的概率等于,即 当一次试验中出现 这一小概率事件时,有理由拒绝原假设,认为因素的效应显著,不同条件下的总体均值有明显的不同。否则接受原假设。,对显著水平,判断为不显著时,记为“”对显著水平,判断为显著时,记为“*”对显著水平,判断为显著时,记
9、为“*”,4.1 基本概念与原理,方差分析的主要步骤提出原假设 和备择假设;计算各因素离差平方和,各平方和的自由度;计算各因素均方差;构造并计算统计量;查检验临界值。判断某因素作用是否显著,据此拒绝或接受原假设。,4.1 基本概念与原理,方差分析原理与程序方差分析表,单因素方差分析表 One-Way ANOVA,4.1 基本概念与原理,补充分析1.方差齐性检验(一致性检验)Origin软件通常用Levene Test和Brown-Forsythes Test 检验方差一致性。,4.1 基本概念与原理,补充分析1.方差齐性检验(一致性检验)Origin软件通常用Levene Test和Brown
10、-Forsythes Test 检验方差一致性。,4.1 基本概念与原理,补充分析2.样本数据独立性检验(游程检验)游程检验是一个非参数检验方法,原假设为样本中的个体具有独立性。其检验基于样本显示的游程数。一个游程意味着一个连续的、具有相同取值的数据串。游程检验只适合于二分类类型数据,对非二分类数据需要进行数据变换。通常根据每个数据与中位数(均值或众数)的关系,将大于等于中位数和小于中位数的观测值分别用正号(个数n1)和负号(个数n2)表示,据此计算游程数r。然后通过比较实际游程数和游程检验临界值对应的两个检验临界值r1(r1a(n1,n2)和r2(r2a(n1,n2)。如果r=r2,则拒绝原
11、假设。,4 方差分析,主要内容4.1 基本概念与原理4.2 单因素方差分析4.3 两因素方差分析4.4 多因素方差分析,概述 单因素方差是仅仅讨论一种试验条件对试验结果有无显著影响的分析。单因素方差分析对因素的水平数没有限制,可任意选择,但一般多见的是选3至6个水平。单因素方差分析对重复性有要求,重复次数一般应在3次以上。各水平下的重复次数则可以不同,但这时的计算要复杂一些,精度也相对低一些。原假设 备择假设 至少有两个不相等。,4.2 单因素方差分析,4.2 单因素方差分析,重复数相等的单因素方差分析 设因素A的 个水平为:,在每一水平下各做 次重复试验。,水平数:重复数:试验数据总数:,4
12、.2 单因素方差分析,重复数不等的单因素方差分析 设因素A的 个水平为:,在各水平下分别做 次试验(不完全相等)。,水平数:重复数:试验数据总数:,单因素方差分析的数学模型(1)数据的结构(等重复数为例):假设因素 的第 水平 下的理论平均值为,为所有 的平均值,即,因素 的 水平 的效应为:其中则 即数据总平均+水平效应+误差其中,4.2 单因素方差分析,单因素方差分析的数学模型(1)数据的结构(等重复数为例):由,可得,4.2 单因素方差分析,单因素方差分析的数学模型(1)数据的结构(等重复数为例):因此,单因素方差分析的数学模型建立在:,4.2 单因素方差分析,相互独立,单因素方差分析的
13、数学模型(2)平方和的结构及无偏估计(等重复数为例):,4.2 单因素方差分析,平方和的结构,单因素方差分析的数学模型(2)平方和的结构及无偏估计(等重复数为例):,4.2 单因素方差分析,均方差的无偏估计,单因素方差分析的数学模型(3)假设检验(等重复数为例):,4.2 单因素方差分析,4.2 单因素方差分析,重复数相等的单因素方差分析例4-1 研究了光照条件对某种有机物降解速度的影响,在人工控制的六种不同光强条件下,测定了这6种有机物24小时内的降解速度,结果以损失百分比表示:,SPSS和Origin软件分析,4.2 单因素方差分析,重复数不等的单因素方差分析例4-2 研究了光照条件对某种
14、有机物降解速度的影响,在人工控制的六种不同光强条件下,测定了这6种有机物24小时内的降解速度,结果以损失百分比表示:,SPSS和Origin软件分析,4.2 单因素方差分析,SPSS软件分析首先,建立数据文件(按照不同的水平将数据进行分组)其次,进行数据分析(Analyze-Compare Means-One-Way ANOVA)(ANOVA=analysis of variance)仅使用系统默认选项进行分析 结果输出,离差平方和,自由度,均方差,统计量F值,显著性概率,组间,组内,4.2 单因素方差分析,Origin软件分析首先,建立数据文件其次,进行数据分析(Statistics-ANO
15、VA-One-Way ANOVA)(ANOVA=ANalysis Of VAriance)仅使用系统默认选项进行分析 结果输出,组间,误差,自由度,均方差,离差平方和,统计量F值,显著性概率,4.2 单因素方差分析,多重比较(multiple comparisons)单因素方差分析能够判断各水平之间是否有显著性差异。如果有显著性影响,可以进一步确定不同水平的影响程度如何,以及哪个水平的作用明显不同于其他水平,或哪个水平的作用不显著。本课程仅介绍常见的等方差假设下的多重比较方法。LSD法(Least Significant difference 最小显著差法)Bonferroni 法Tukey法
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