哈工大物理第5章角动量角动量守恒.ppt

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1、例 柔软均质物体以初速v0 送上平台，物体前端在平台上滑行 s 距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间的摩擦因数为，且 s，求初速度v0。,解：,由动能定理：,例.质量为M 的物体A,上有半圆形的光滑槽,放在光滑的桌面上,另一质量为m的物体B可在槽内滑动.求:,(1)物体B从a点由静止释放,沿槽下滑至任意位置C 时,A相对于桌面的速率及 B 相对于A的速率各为多少?,(2)当B从a点滑至最低点b 时,A移动了多少距离?,(3)当B从a点滑至最低点b 时,B对槽的压力多大?,(4)当B从a点滑至最低点b 时,对桌面参考系,B的轨道曲率半径多大?,机械能守恒+动量守恒+相对运动应用举例,解:(1

2、)小物体B下滑过程中，,以A、B、地球为系统则机械能守恒：,以A、B为系统的水平方向动量守恒。,设V为A对地速度,v 为B对A的相对速度。,B对地速度为：,(3)当物体滑到槽的最低点 b 时因为无水平方向外力,槽的加速度为零.此时,可视槽A为瞬时惯性参考系,以A为参考系:,(2)设B从a点滑到b点,A,B相对于地面各移动了x1,x2 距离:,解得:,根据(1)问的结果,当=/2 时,b点的v应满足,(4)以地面为参考系,在b点：,根据(1)问的结果,当=/2 时,b点的v应满足,x,y,为什么银河系呈旋转盘状结构？,体操运动员的“晚旋”,芭蕾、花样滑冰、跳水.,为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨

3、？,第五章 角动量 角动量守恒定律,猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，为什么会这样呢？,5-1 质点的角动量定理和角动量守恒定律5-2 质点系的角动量和角动量守恒定律5-3 刚体的定轴转动5-4 定轴转动刚体的转动定律 转动惯量5-5 定轴转动刚体的角动量定理 和角动量守恒定律5-6 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理,5-1 质点的角动量定理和角动量守恒定律,一.质点对参考点的角动量,说明,O,S,1.角动量是矢量，大小:,2.为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量L画在参考点上。

4、,特例：质点作圆周运动,称为质点对参考点O的角动量或动量矩,角动量是描述物体的转动特征的物理量.,例.自由下落质点对不同参考点的角动量,任意时刻 t，有,（1）对 A 点的角动量,（2）对 O 点的角动量,确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。,确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。,二.力对参考点的力矩,力 对某一固定点 O 的力矩定义,三.质点的角动量定理及角动量守恒定律,求角动量对时间的变化率，有,2）方向：,的方向,1）大小,即,力矩和角动量都是对惯性系中同一参考点而言。,质点角动量定理,（微分形式）,或,质点角动量定理,（积分形式）,质点所受合力的冲量矩等

5、于质点角动量的增量-质点的角动量定理,合力的冲量矩,角动量的增量,由质点角动量定理,若对于某一参考点，质点所受合力矩为零，则质点对该参考点的角动量保持不变-质点的角动量守恒定律,比较 动量定理 角动量定理,比较 动量定理 角动量定理,力,力矩或角力,动量,角动量,或动量矩,合力的冲量,合力矩的冲量,或冲量矩,讨论行星运动,例,有心力,1、L 方向不变,行星轨道平面方位不变,常量,2、L大小不变 行星矢径单位时间行扫过的面积(掠面速率)是常量,=常量,-开普勒第二定律,m r远 v远=m r近 v近,v远 v近,3、行星近地点速度大，在远地点速度小,远,在近日点与远日点,例5-1 一半径为 R

6、的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为 m 的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上的点 A(该点在通过环心 O 的水平面上),然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度.,解 小球受重力和支持力作用,支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里,由质点的角动量定理,考虑到,得,由题设条件积分上式,一.质点系的角动量,5-2.质点系的角动量和角动量守恒定律,是以质心为参考点的角动量。与观察者选什么样的参考点无关，也称为固有角动量。,例：地球绕太阳转，电子绕原子核转(自旋不同于经典）,（1）轨道角动量,说明,与参考点O 的选择有关

7、。,（2）自旋角动量,二.质点系的角动量定理及角动量守恒,质点系的角动量,-各质点所受外力矩的矢量和称为质点系所受合外力矩,与 共线，,对i,j 两个质点，内力矩之和为,-内力矩的矢量和为零,质点系所受合 外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量-质点系的角动量定理,时,-质点系的角动量守恒定律,质点系的内力矩不能改变质点系的总角动量,质点系所受合 外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量-质点系的角动量定理,旋转盘状星系结构-角动量守恒的结果,3.质心参考系的角动量定理及角动量守恒定律,质心参考系的角动量定理,即 对质心的合外力矩等于对质心的角动量的时间变化率,(自旋角动量或固有角动量）,质心可以是

8、动点，上式对非惯性系也成立！,而前面的角动量定理只对惯性系中的固定点才成立,注意：,-质心系中（对质心）的角动量守恒定律,=常矢量,当对质心的合外力矩,1)若质点所受外力是 有心力,即,沿着或背着,则质点系的角动量守恒,2)若质点系所受外力是重力,即,则在质心参考系中,角动量总是守恒的,3)角动量定理、角动量守恒式都是矢量式，它们对每个分量都成立.,的方向,结论：,猫尾巴的功能,角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变,因而产生了季节变化.,角动量守恒的现象:,解：,引力场（有心力）,质点的角动量守恒,系统的机械能守恒,例5-2 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M、半径为 R 的行星，当飞船

9、静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面,求:角及着陆滑行的初速度多大？,5-3 刚体的定轴转动,一、刚体运动的基本形式,刚体：,受力时不改变形状和体积的物体,特点：在任意时刻，刚体中所有点的位移、速度、加速度都相同,用质心代表刚体的平动,平动,定轴转动的特点：任意时刻，所有点都具有相同的角位移、角速度、角加速度.这些角量也称刚体的角量。,转轴,瞬时转轴,固定转轴,非定轴转动,定轴转动,转动（定轴、非定轴）,角坐标和角位移,是矢量，方向用右手螺旋法则确定。,角速度,方向：右手螺旋法则确定。,二.刚体定轴转动的描述,角坐标：,角位移：,角

10、速度仅有沿转轴的两个方向。,用正负号表示方向,角加速度方向与 相同。,角加速度,定轴转动-,角量与线量的关系,刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比,方向如图,方向如图,1、力在转动平面内,2、力不在转动平面内,5-4 定轴转动刚体的转动定律 转动惯量,一、力对转轴的力矩,质点动力学问题,刚体动力学问题,?,O,对O点的力矩：,证明:外力对转轴 z 的力矩,ri:力的作用点到转轴的垂直距离,Fi:位于转动平面 垂直于转轴的分力,对转轴 z 的力矩:,(2)若有n个力作用在刚体上，且都在转动平面内，则合力矩为各力矩的代数和;,例如,(1)对轴的力矩只可用正负号表示方向;,讨论：,(3)刚体内

11、质点间的内力对转轴的合力矩为零，即合内力矩为零。,(3)刚体内质点间的内力对转轴的合力矩为零，即合内力矩为零。,内力总是成对出现，内力矩也成对出现，对i,j 两个质点，内力矩之和为零,刚体对转轴的转动惯量,对mi 用牛：,二、定轴转动定律,切向分量式为：,外力矩,内力矩,合内力矩：,合外力矩：,对所有质点求和：,转动惯量,转动惯量,所有的外力对定轴 z 轴的力矩的代数和,刚体对 z 轴的转动惯量和角加速度,转动定律:定轴转动的刚体，其角加速度与其所受的对轴的合外力矩成正比，与其转动惯量成反比。,2.合外力矩、转动惯量和角加速度均相对于同一转轴。,1.与 地位相当，m反映质点的平动惯性，J反映刚

12、体的转动惯性。,3.对定轴转动，力矩和角加速度只有两个方向，可用正负号表示方向。,J与转轴的位置有关。,哪种握法转动惯量大？,计算,三、转动惯量,质量离散分布,质量连续分布,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,决定刚体转动惯量的因素,刚体的质量;,转轴的位置。,质量的分布；,例1圆环绕中心轴旋转的转动惯量,解,例2 一质量为、长为 的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴及过端点垂直于棒的转轴的转动惯量.,O,盘由许多环组成,本例转动惯量与h 无关。所以，实心圆柱对中心轴的转动惯量也是。,O,例3圆盘绕中心轴旋转的转动惯量,O,前例中 Jz-相对质心轴的转动惯量，Jz-相对通过棒端的轴的

13、转动惯量。两轴平行，相距L/2，有：,推广:平行轴定理。,故通过质心轴的转动惯量最小,四.关于转动惯量几个定理,对于薄板刚体,薄板刚体对 z 轴的转动惯量,等于对 x 轴的转动惯量,与对 y 轴的转动惯量,之和,B,任何转动惯量都可以写成总质量与一个长度平方的乘积，即：,回转半径,任意刚体的回转半径,式中:J 是刚体关于某一轴的转动惯量。,例:,G 不是质心,C,G,式中 RG称为回转半径。,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,五.转动定律的应用,T,已知：,滑轮质量M（匀质圆盘）半径R;细绳与滑轮间无相对滑动,绳不可伸长且质量可忽略.,物体质量m1 m2,求：,a=

14、?,a,m1g,m2g,T,解：,对否？,T1,T2,否则滑轮匀速转动，而物体加速运动,矛盾!,T1,T2,对滑轮,线量与角量关系,M,例5-3.,请思考：若轴上的摩擦力矩为 Mf，结果又如何？,对物块,例5-4 质量为 的定滑轮,可绕水平光滑轮转动,一轻绳绕于轮上,另一端通过质量 的定滑轮悬有 的物体.求:当重物由静止开始下降了 时,(1)物体的速度;(2)绳中的张力.(设绳与定滑轮间无相对滑动。）,解:,已知：,例5-5.,匀质杆m，,长为 l。,从水平位置释放，下落角时,解：,由转动定律,质心运动定理与转动定律联用,由质心运动定理,例5-6用实验方法测物体的转动惯量：已知转台的转动惯量为

15、J0，轮轴半径r，重物质量为m,由静止落下的高度为h，所用时间为t，轴承摩擦、定滑轮和线的质量不计,解：分别以转动系统和重物m为研究对象，受力及运动情况如图所示，其中：,由转动定理：,由牛二定律：,由可求得：,I,例5-7.有一半径为 R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与桌面的摩擦系数为，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度 0 开始旋转，它将在旋转几圈后停止？,R,解 1)求圆盘的摩擦力矩,取宽为dr的圆环，,选角速度方向为正方向,环的质量为：,圆环所受的摩擦力矩为,圆盘受摩擦力矩:,选角速度方向为正方向,圆盘受摩擦力矩:,2）求角加速度,3）求转过圈数,5-5 定轴转动刚体的角动

16、量定理和角动量守恒定律,刚体以角速度 绕z 轴转动。质元mi的角动量为：,由于每个质元对z 轴的角动量方向相同,刚体对z 轴的角动量为:,一、刚体定轴转动的角动量定理,由转动定律:,讨论力矩对时间的积累效应,方向沿z轴正方向,微分形式,积分形式,单位：牛顿米秒,由转动定律:,外力对定轴的合冲量矩等于定轴转动刚体对轴的角动量的增量-刚体定轴转动的角动量定理,二、定轴转动刚体的角动量守恒定律,角动量守恒定律:当刚体所受的合外力矩为零时,刚体的角动量保持不变。,说明：1.若系统由几部分构成，总角动量是指各部分相对同一转轴的角动量代数和；2.对微观粒子和高速运动也适用，是物理学中的基本定律之一。,角动

17、量守恒定律的两种应用：,1.转动惯量保持不变的单个刚体。,2.转动惯量可变的物体（如刚体组或可变形物体）。,变形体绕某轴转动时，若各点(质元)转动的角速相同，则,茹可夫斯基转椅,克服直升飞机机身反转的措施：,装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩,装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消,被 中 香 炉,惯性导航仪（陀螺仪）,角动量守恒定律在技术中的应用,转子绕质心轴运动的角动量守恒,1.构造,2.原理,方向不变表现为转子自转轴方位保持不变.,3.应用,常平架回转仪,(陀螺仪),转子、内环、外环各有一个转轴，互相垂直，交于转子质心.转子的转动轴线可以相对支架自由取向。,可用转子轴线作为标准

18、，随时指出导弹、飞机等物体在空间的方位，以便进行自动调整。,通过支架 可固定到导弹、飞机等 需要测定方位的物体上,例5-8 长为l 的均匀细杆。当杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率 垂直落在距点O为 l/4 处,并背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行?,解:,由角动量定理,碰撞瞬间，内力矩 外力矩 角动量守恒,解一：因摩擦力为内力，外力过轴，外力矩为零，则：J1+J2 系统角动量守恒，以顺时针方向旋转为正方向：,接触点无相对滑动：,问题：（1）式中各角量是否对同轴而言？（2）J1+J2 系统角动量是否守恒？,

19、系统角动量不守恒！此解法不对。,解二：分别对m1,m2 用角动量定理列方程（也可用转动定律求解）,例5-9 质量为m1、半径为r1的匀质圆轮A，以角速度绕通过其中心的水平光滑轴转动，若此时将其放在质量为m2、半径为r2的另一匀质圆轮B上，B轮原为静止，但可绕通过其中心的水平光滑轴转动。放置后A轮的重量由B轮支持，如图所示。设两轮间的摩擦系数为。证明：A轮放在B轮上到两轮间没有相对滑动为止，经过的时间为:,解:两轮间没有滑动时，两轮的角速度 和 必有下列关系：,由转动定律,注意：只有共轴离合系统接触时，在无外力矩的条件下，系统的角动量才守恒,例如 摩擦离合器由A、B两飞轮组成，JA，JB，C为摩

20、擦片，开始A轮转速度为0，B轮静止。求：两轮啮合后的角速度？,解：A、B为一系统，C接触后产生切向摩擦摩擦内力矩，系统角动量守恒：,5-6 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理,有限的角位移，力做的功为,元功,一、力矩的功-力矩的空间积累作用,-力矩的功,二、力矩的功率,比较：,三、转动动能,质元mi 的速率为:,其动能为:,二、力矩的功率,整个刚体的动能为:,刚体转动动能,比较：,四、定轴转动的动能定理,刚体定轴转动的动能定理:合外力矩作的功等于刚体转动动能的增量.,五、刚体的重力势能,任取一质元其势能为,(以O为参考点）,六、机械能与机械能守恒,机械能=势能+平动动能+转动动能,刚体与质点组

21、成的系统，机械能包括：,机械能守恒条件：,机械能=势能+平动动能+转动动能=恒量,刚体与质点组成系统的机械能守恒定律,解(1)杆+子弹：竖直位置，外力(轴o处的力和重力)均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒：,解得,例5-10 匀质杆：长为l、质量M，可绕水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂。质量为m的子弹以水平速度o射入杆上的A点，并嵌在杆中，a=2l/3,求:(1)子弹射入后瞬间杆的角速度;(2)杆能转过的最大角度。,由此得：,(2)杆在转动过程中显然机械能守恒：,由前,转动动能,平动动能,区分两类冲击摆,水平方向：Fx=0，px 守恒 m v 0=(m+M)v 对 o 点：，守恒 m

22、v 0 l=(m+M)v l,轴作用力不能忽略，动量不守恒，但对 o 轴合力矩为零，角动量守恒,例5_11 质量为 m，半径为 R 的均匀圆柱体沿倾角为 的粗糙 斜面，在离地面为 h0 处从静止开始无滑下滚（纯滚动）。试求：1)圆柱体下降到高度为 h 时，它的质心速度 vc 和转动角速度；,2）摩擦系数应满足的条件。,vc,R,f,解（1）因是纯滚动，A点瞬时速度,利用机械能守恒：,由（1），（2）解得,根据质心运动定理,根据转动定律,因是纯滚动，有,解得,要保证无滑滚动，所需静摩擦力 f 不能大于最大静摩擦力，即,(2)摩擦系数应满足的条件,撞前：,思考：碰撞后的旋转方向？绕o逆时针旋转。,

23、撞前：（2）各微元运动速度相同，但到O距离不等，棒上段、下段对轴O角动量方向相反,设垂直向外为正方向，总角动量：,撞后：,*5-7 进 动(旋 进),2005年6月8日，一名青年在贵阳市休闲文化广场，在玩一个巨型木制陀螺。该陀螺高35厘米，直径22厘米，抽陀螺的鞭子用马达带制成。,进动轴,自转轴,一.进动现象,不转，倾斜放置,绕对称轴高速旋转,重力矩使之倾倒。,不倒，其对称轴旋转,高速旋转的物体，自转轴绕另一轴旋转的现象称为进动(旋进),二.进动的产生,由质点系对定点的角动量定理,在重力矩作用下,只变方向，不变大小,由于陀螺自转角速度很大，故有：,对O点的重力矩：,三.进动角速度,讨论：，与实际符合。,如连续画下去,旋进的应用举例,我们知道：甩手榴弹时，手榴弹要翻跟头,C,