高等数学-第七版-课件-3-1微分中值定理.ppt

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1、第一讲 微分中值定理,微分中值定理,一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、中值定理的应用,微分中值定理,一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、中值定理的应用,几何事实,使得,在a,b上连续,在(a,b)内可导,数学结论,成立条件,如果函数f(x)满足,定理,(1)在闭区间a,b上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)在区间端点处函数值相等,即f(a)=f(b),证明思路,费马引理,设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意的xU(x0),有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0),那么f(x0)=0,闭区间上连续函数的性质,

2、注,1,定理的条件是重要的,（1）条件不满足结论有可能不成立,（2）条件不满足结论也有可能成立,例,2,定理的条件是充足的,例,微分中值定理,一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、中值定理的应用,微分中值定理,一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、中值定理的应用,如果函数f(x)满足:,定理,(1)在闭区间a,b上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,证明思路,罗尔定理,拉氏定理,辅助函数,f(x),(x),几何方法:,代数方法:,注,1,与罗尔定理的关系,罗尔定理,拉氏定理,2,定理结论的其它形式,在x2与x1之间,在x1与x1+x之间,有限增量公式,微分中值定理

3、,一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、中值定理的应用,微分中值定理,一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、中值定理的应用,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,如果函数f(x)及F(x)满足:,(1)在闭区间a,b上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,注,与拉格朗日定理的关系,拉氏定理,柯西定理,三个中值定理的注:,1,关系：,前者是后者的特例，后者是前者的推广,2,只是肯定了的存在性，没有指出的确切位置,3,中值定理是联系函数与导数的桥梁,中值定理并不是一种无聊的数学游戏，而是数学科学最有力的杠杆之一,恩格斯,微分中值定理,一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中

4、值定理四、中值定理的应用,微分中值定理,一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、中值定理的应用,四、中值定理的应用,（一）罗尔定理的应用（二）拉格朗日定理的应用（三）柯西定理的应用,四、中值定理的应用,（一）罗尔定理的应用（二）拉格朗日定理的应用（三）柯西定理的应用,例1,例2,四、中值定理的应用,（一）罗尔定理的应用（二）拉格朗日定理的应用（三）柯西定理的应用,四、中值定理的应用,（一）罗尔定理的应用（二）拉格朗日定理的应用（三）柯西定理的应用,例3,用于理论证明,用于证明等式,例4,证明,用于证明不等式,例5,证明,例6,证明,四、中值定理的应用,（一）罗尔定理的应用（二）拉格朗日定理的应用（三）柯西定理的应用,四、中值定理的应用,（一）罗尔定理的应用（二）拉格朗日定理的应用（三）柯西定理的应用,例7,例8,罗尔定理拉格朗日定理柯西定理,辅助函数方法,证明等式、不等式,