计算机控制技术-13离散系统的能控(观测)性及稳定性.ppt

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1、2023/10/31,1,第三节 线性离散定常系统的能控(观测)性及稳定性,能控性定义及判别准则能观测性定义及判别准则连续系统离散化后的能控性和能观测性Z域稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析,2023/10/31,2,1、能达性、能控性定义,能控性：任意初始状态到零状态的转移能力若存在控制序列u(0)，u(1)，u(l-1)(ln)能将任意初始状态x(0)=x0在第l步上到达零态x(l)0，则称系统是状态完全能控的。,对于n阶线性定常离散系统：,一、离散时间系统的能达性、能控性,能达性：零初始状态到任意非零状态的转移能力若存在控制序列u(0)，u(1)，u(l-1)(ln)能将初始状态x(0)=x

2、0=0在第l步上到达任意终端状态，则称系统是状态完全能达的。,2023/10/31,3,定理：对于n阶线性定常离散系统：定义判别阵如下：,2、能控、能控性判别准则一（判别阵的秩判据法）,如果G非奇异阵，则式(1)是系统状态完全能控的充分必要条件；,如果G是奇异阵，则式(1)是系统 状态完全能控的充分条件。,则系统状态完全能达的充分必要条件是：,（1）,2023/10/31,4,线性定常离散系统,解为,所以,对任意x(n)，要使U存在，则Qc满秩。,证明：对能达性，有,所以,2023/10/31,5,对能控性，有,所以,此时，如果G是非奇异的，则 也是非奇异的，是x(0)的全映射，所以，对任意x

3、(0)，U存在的条件是Qc满秩；,此时，如果G是奇异的，则 也是奇异的，不是x(0)的全映射，尽管x(0)可以在 中任意取值，而 的n个分量不独立，只在 的一个子空间变化，所以对任意x(0)，U存在，不必要求Qc满秩。此式一个极端的情况是：,2023/10/31,6,结论2：如果一个离散时间系统为连续时间线性时不变系统的时间离散化，由于不论A是否为非奇异阵，必可逆，即是非奇异的。所以，连续系统离散后得到的系统，其能控性和能达性等价。,结论1：连续时间系统可达性和可控性等价，而离散时间系统则不完全相同。离散时间系统，如果矩阵G非奇异，则系统的能控性和能达性等价。如果G奇异，则不可达的系统，也可能

4、可控。所以：可达系统一定可控，可控系统不一定可达。,此时，对任意的x(0)，均有，不管Qc是否满秩，均能找到U0。所以，当G是奇异时，Qc满秩是判断能控性的充分条件，而不是必要条件,2023/10/31,7,说明：1）只讨论使任意初始状态转移到零态，或零态转移到任意终端状态的控制序列是否存在，不涉及具体转移几步。2）对于n阶SI定常系统，若在第n步上不能将初始状态（零态）转移到零态（任意终端状态），则在n+1及以后的任何一步都不能转移。,例：系统的状态方程如下，试判定系统的状态能达性和能控性。,2023/10/31,8,故系统是状态完全能控。,解：,首先构造能控判别阵：,所以能控性判别阵为：,

5、求能控性判别阵的秩：,2023/10/31,9,例：系统的状态方程如下，试判定系统的状态能控性。,解：,G为奇异阵，且有：,则系统不完全能达，由于G奇异，系统状态有可能可控。,如果取：,则x一步回零：,所以，系统状态完全能控。,2023/10/31,10,同线性连续定常系统的能控标准型判据：1）对角线标准型：特征值互异时，H中不包含元素全为0的行；重特征根时，一定不可控。2）约当标准型：H中与每个约当小块首行所对应的行，其元素不全为零。2个推论（SI系统必不可控；MI系统，同一特征值对应的约当块最后一行所对应H中的行，行线性无关则可控）,3、能达、能控性判别准则二（标准型法，此时要求G非奇异）

6、,2023/10/31,11,如果根据有限个采样周期内测量的y(0)，y(1)，y(l)，可以唯一地确定出系统的任意初始状态x0，则称x0为能观测状态。如果系统的所有状态都是能观测的，则称系统是状态能观测的。,二、离散时间系统的能观测性,对于n阶线性定常离散系统：,1、能观测性定义,2023/10/31,12,例：设线性定常离散系统方程如下，试判断其能观测性,2023/10/31,13,同线性连续定常系统的标准型判据：1）对角线标准型：特征值互异时，C中不包含元素全为0的列；重特征根时，一定不可观测。2）约当标准型：C中与每个约当小块首列所对应的列，其元素不全为零。2个推论（SO系统必不可观；

7、MO系统，同一特征值对应的约当块首列所对应C中的列，列线性无关，则可观测）,3、能观测性判别准则二（标准型法）,2023/10/31,14,三、连续系统离散化后的能控性和能观测性,内容：对于线性连续定常系统，离散化后其状态能控性和能观测性是否发生变化。,例：,已知连续系统：是状态完全能控且能观测的。请写出其离散化方程，并确定使相应的离散化系统能控且能观测的采样周期T的范围。,2023/10/31,15,所以：,要使系统状态能控，则能控判别阵的行列式非零，即：,要使系统状态能观测，则能观测判别阵的行列式非零，即：,联立上2式可知，要使离散化后系统能控且能观测，T必须满足：,2023/10/31,

8、16,结论1：对于线性连续定常系统如果是不能控和不能观测的，则其离散化后的系统也必是不能控和不能观测的。,结论2：对于线性连续定常系统如果是能控和能观测的，则其离散化后的系统不一定是能控和能观测的。,结论3：离散化后的系统能否保持能控和能观测性，取决于采样周期T的选择。,结论：线性连续定常系统离散化后，系统的能控和能观测性变差了。,2023/10/31,17,离散系统Z域稳定的充要条件是：z传递函数的极点全部位于单位圆内。即：等价于系统的s平面中所有极点位于s的左半平面。,四、z域稳定性分析,2023/10/31,18,定理：线性定常离散系统的状态方程为 则系统在平衡点Xe=0处渐近稳定的充要

9、条件是：对于任意给定的对称正定矩阵Q，都存在对称正定矩阵P，使得：,且系统的李亚普诺夫函数是：,2023/10/31,19,当取 时：,定理说明2：如果 沿任意一解序列不恒等于零，Q也可取为半正定的。,定理说明1：,仿线性连续系统，先给出正定对称矩阵Q，从以下方程中解出实对称阵P，然后验证P是否正定，是则系统是李氏渐近稳定的。,2023/10/31,20,试用李氏第二法确定系统在平衡点 为渐近稳定的k值范围。,例：已知线性离散时间系统状态方程为：,其中：,2023/10/31,21,解得：,根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则，即：k2，所以系统渐近稳定的k值范围为k2,2023/10/31,22,本节小结：,1、离散时间系统的能达、能控性定义及判据。G为非奇异，则,满秩,2、离散时间系统的能观测性定义，能观测性判据如下：,满秩，,3、连续系统离散化后的能控性和能观测性变差了（依赖于采样周期T）,4、z域稳定性分析 z域系统稳定条件是：z传递函数的极点全部位于单位圆内,5、线性离散系统的李氏稳定性分析：,李氏函数为：,