行列式的降价处理-按行列展开.ppt

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1、行 列 式,第1节 矩阵概念的引入第2节 排列及其奇偶性第3节 行列式的定义第4节 行列式的简单使用与对角线法则第5节 行列式的计算与性质第6节 行列式的降价处理：按行列展开,第6节 行列式的降价处理：按行、列展开,降阶、降级处理是数学处理的基本思路之一。对n阶行列式也可使用这一思路：将n阶行列式变成n-1阶行列式进行处理，从而可层层降阶到低阶行列式进行处理，这便是行列式的按行或按列展开。,一 特殊行列式的降阶处理一般行列式的按行、按列展开特殊行列式的计算,例：证明,(降阶处理),左端,右端,一 特殊行列式的降阶处理,更一般地，如下行列式能否降阶处理？,又因,综上，有,一般行列式的按行展开,其

2、中,上面分析表明，一般n阶行列式可按某行展开成该行元素与其代数余子式的积的和的形式：,此行列式相当于在行列式,又因代数余子式可降阶为如下形式(相等或符号相反),综合前述知识知，Aij 与 Mij 的有如下关系,即Aij 可通过计算一个n-1阶行列式得到。下式表明了行列式可降阶处理。,称上式为行列式的按第i行展开式。(i=1,2,n),按第 j 列展开行列式,？,行列式的按行、列展开式表明行列式=某一行的元素分别与各自代数余子式的乘积之和,对行列式d,?,当k=i时，是d按第i行的展开，仍为d；当ki时,则表示的是d的第k行元素与另一行元素的代数余子式相乘。其结果是否仍为d?,例，已知行列式,例

3、：,当ki时,不妨设 ik，则,0.,定理：设,例：计算行列式,问题：与化三角行列式相比，计算量有否变化？,例：计算,问题：与化三角行列式相比，计算量有否变化？,注 意 行列式按行、列进行展开的着眼点不在于减少计算量，而在于其理论意义。当然在手算具体确定的行列式时，当行列式的某些行与列有大多数 0 时，能有效化简计算，但这种做法却没有通用性。,三 特殊行列式的计算,(n-1行乘-a1 加到第n行；n-2行乘-a1 加到第n-1行，余类推),1 范德蒙德行列式,(上边最后一式右边又是一个 n-1 级的范德蒙德行列式),从而有（归纳证明），,2,结论可借助矩阵的按行、列展开用数学归纳法给予严格证明.,从而等式右侧,等式右端。,