线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵.ppt
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1、课件,1,线 性 代 数 电子教案之五,课件,2,主要内容,第五讲 矩阵的初等变换与初等矩阵,矩阵的初等变换的概念;,阶梯形矩阵的概念;,矩阵等价的概念;,三种初等矩阵,初等矩阵与初等变换的联系.,基本要求,熟悉掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩 阵,知道矩阵等价的概念;,知道初等矩阵,了解初等矩阵与初等变换的联 系,掌握用初等变换求可逆矩阵的逆阵的方法.,课件,3,一、概念的引入,第一节 矩阵的初等变换,引例 用消元法求解线性方程组,解,析:为了引入概念,在消元的过程中,把方程组看作一个整体,不是着眼于某一个方程的变形,而是着眼于整个方程组变成另一个方程组.,3,课件,4,2,为消去 做准
2、备,课件,5,3,至此消元完毕,为了求出方程组的解,再只需用“回代”的方法即可:,课件,6,于是解得,其中 可任意取值.,若令,则方程组的解为,课件,7,说明,求解线性方程组可分为消元与回代两过程。消元 过程的实质,就是通过一系列方程组的同解变换 找到一个形式上较简单的方程组,然后进行回代,这里方程组的同解变换是指下列三种变换:,对调两个方程;,以不为零的数乘某一个方程;,把一个方程的倍数加到另一个方程上.,从原方程组 同解变换到方程组 的过程可见,除去代表未知数的文字外,矩阵与方程组是一一 对应的.换言之,方程组有没有解,有什么样解完 全由各方程组的系数和常数项连同它们相互位置 所成数表,即
3、增广矩阵所决定.而且,对方程组作 同解变换,相当于对它的增广矩阵作相应的变换.,Go,课件,8,由此可知,方程组的三种同解变换很自然地要引 入到矩阵上,导出矩阵矩阵的三种初等行变换.,同时,必须注意,原方程组能同解变换成什么样 的最简单方程组,就是相当于增广矩阵在初等行 变换下能变成什么样的最简单矩阵(行最简形矩 阵).,就本例来说,四个未知数划分为自由未知数 和 非自由未知数,课件,9,二、初等变换定义和记号,1.定义,下面三种变换称为矩阵的初等行变换,(1)对调两行;,说明,把上述的定义中的“行”换成“列”,即得到矩阵的 初等列变换的定义.,矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.,(
4、2)以数 乘某一行中的所有元素;,(3)把某一行所有元素的 倍加到另一行对应的 元素上去.,课件,10,2.记号,对调 两行,记作,对调 两列,记作,第 行乘,记作,第 列乘,记作,第 行的 倍加到第 行上,记作,第 列的 倍加到第 列上,记作,课件,11,3.初等变换的逆变换,变换 的逆变换为,变换 的逆变换为,变换 的逆变换为,课件,12,三、矩阵等价,1.定义,2.矩阵之间的等价关系具有的性质,反身性,对称性,传递性,课件,13,四、阶梯形矩阵,首先用矩阵的初等行变换来解方程组(1),并把其过程与消元法过程一一对照.,Go,2.行阶梯形矩阵,其特点是:可画出一条阶梯线,线的下方全为0;每
5、个台阶只有一行,台阶数即是非非零行的行数;阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元,称为首非零元.,行阶梯形矩阵:自上而下,每个非零行的首非零元 前面的零的个数依次增加;零行在最下方.,说明,课件,14,3.行最简形矩阵,其特点是:是阶梯形矩阵;非零行的第一个非零元(首非零元)为;首非零元所在的列的其它元素都为,结论,对于任何矩阵,总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的.,一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的.,课件,15,4.矩阵的标准形,其特点是:左上角是一个单位矩阵,其余元素全为0.,结论:对于 矩阵,总可经过初等变换把它化为标准形,课
6、件,16,例1 下列四个矩阵中,哪些是行最简形?,解,矩阵 和 是行最简形矩阵.,课件,17,例2 设,把 化成行最简形.,解,将 元化为1,课件,18,将 元化为1,这已是阶梯形矩阵,再化为行最简形,课件,19,特别注意,把矩阵化为行最简形,不可以用初等列变换.,把最后的行最简形记作,则有下面的结论:,可以验证得 即,说明,课件,20,五、小结,利用初等行变换,把一个矩阵化为行阶梯形矩阵 和行最简形矩阵,是一种十分重要的运算.由引 例可知,要解线性方程组只需将增广矩阵化为行 最简形.,行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的比较,课件,21,一、初等矩阵,第二节 初等矩阵,1.定义,由单位矩阵 经过一次
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- 线性代数 课件 05 矩阵 初等 变换
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