算法、框图、复数、推理与证明11-3推理与证明.ppt

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1、重点难点重点：掌握合情推理和演绎推理能熟练地运用综合法和分析法证题理解反证法，掌握反证法证题步骤难点：用综合法、分析法、反证法证题的思路,知识归纳1推理的概念根据一个或几个已知判断(事实或假设)得出一个新的判断的思维过程叫推理，推理一般由两部分组成：前提和结论推理一般分为合情推理和演绎推理两类2合情推理前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理，数学中常见的合情推理是归纳推理和类比推理,归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理(1)归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出该类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理，归

2、纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想),(2)类比推理根据两类不同事物之间具有的某些类似(或一致)性推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质，这样的推理叫类比推理类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的所以类比推理属于合情推理类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想),3演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则)推导出特殊性命题为真的推理形式称作演绎推理它的特征是：当前提为真时，结论必

3、然为真(1)假言推理假言推理的规则是：“若pq，p真，则q真”它的本质是，通过验证结论的充分条件为真，从而判断结论为真,(2)三段论推理“若bc，ab，则ac”，这种推理规则叫三段论推理它包括：(1)大前提已知的一般性原理M是P(2)小前提所研究的特殊情况S是M(3)结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P，三段论推理是演绎推理的一般模式,(3)关系推理推理规则是：“如果aRb，bRc，则aRc”(其中R表示具有传递性的关系)，这种推理叫关系推理，如：由ab，bc，推出ac，若ab，bc，则ac，都是关系推理(4)完全归纳推理把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理,4直接证明直

4、接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理、法则等，直接推证结论的真实性(1)综合法从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证结论是一种由因导果的方法(2)分析法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实，是一种执果索因的方法,分析法的特点是：从“未知”看需知，逐步靠拢“已知”，其每步推理都是寻求使每一步结论成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件为止综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其每步推理都是寻找使每一步结论成立的必要条件5反证法一般地，由证明pq，转向证明qrt，而t与已知矛盾或

5、与某个真命题矛盾，从而判定q为假，推出q为真的证明方法叫做反证法,数学中的命题，都有题设条件和结论两部分，反证法是从否定这个命题的结论出发，通过正确、严密的逻辑推理，由此引出一个新的结论，而这个新结论与已知矛盾，得出结论的反面不正确，从而肯定原结论是正确的一种间接证明方法这里所谓的“与已知矛盾”主要是指：(1)与假设自相矛盾(2)与数学公理、定理、公式、法则、定义或已被证明了的结论矛盾,(3)与公认的简单事实矛盾反证法主要适用于以下情形：结论本身是以否定形式出现的一类命题；关于唯一性、存在性的命题；结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题；要证的结论

6、与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰的命题如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形,误区警示在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，后者结论可能为真！,解题技巧1分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接词2综合法往往是分析法的逆过程，表述简单，条理清楚，所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即：分析找思路，综合写过程3用反证法证题时，首先

7、要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法,反证法还常常用在要证的结论中含有许多种情形，而结论的反面则有较少或仅一种情形的命题的证明中，要注意否定原命题时，要准确无误应用反证法证明数学命题的一般步骤：(1)分清命题的条件与结论(2)做出与命题结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用演绎推理方法、推出矛盾的结果(4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所做假设不真，从而肯定原命题为真,例1平面内有n条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不过同一点，试归纳它们的交点个数解析：n2时，交点个数：f(2)1.n3时，交点个数：f(3)3.n4时，交点个数：f(4)6.n5时，交

8、点个数：f(5)10.,平面内一条直线可将平面分成两部分，两条直线最多可将平面分成4部分，三条直线最多可将平面分成几部分？4条呢？猜想n条直线最多可将平面分成几部分？解析：3条直线最多可将平面分成7部分，4条直线最多可将平面分成11部分如图,点评：归纳出的一般性结论，要能使已知的结论为其特殊情形.,例3(文)在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2AC2BC2.”拓展到空间，类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则_”,答案：SABC2SACD2SADB2SBC

9、D2,(理)如图(1)，过四面体VABC的底面内任一点O分别作OA1VA，OB1VB，OC1VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点,证明：如图(2)，设平面OA1VABCM，平面OB1VBACN，平面OC1VCABL，则有MOA1MAV，NOB1NBV，LOC1LCN.得,点评：(1)用现代的眼光看，类比就是两个同构关系的模型间的推理，模型间的同构关系，即它们结构或功能上存在的某种对应性(相似性)，它是进行类比推理的依据(2)本例中的三角形与四面体就是平面与空间中的两个常见具有同构关系的模型，因而四面体中的很多性质及证明方法都可以通过三角形中的性质及证明方法类比得到(3)数学中其他一些

10、常见的具有同构关系的模型有：等式与不等式、分数与分式、椭圆与双曲线、等差数列与等比数列、长方形与长方体、圆与球等,点评：本例从结构上类比，从等差数列“和式的差”类比到等比数列“积式的商”,分析：本题主要考查用分析法证明不等式及分析问题、解决问题的能力可先令x、y为具体的值，确定出常数C，再给出一般证明,总结评述：当要证的不等式较复杂，两端差异难以消除或者已知条件信息量太少，已知与待证间的联系不明显时，一般可采用分析法，分析法是步步寻求不等式成立的充分条件，而实际操作时往往是先从要证的不等式出发，寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分，这种“逆求”过程，能培养学生的发散思维能力，

11、也是分析问题、解决问题时常用的思考方法.,例6设有长度分别为a1、a2、a3、a4和a5的5条线段，今知其中任何3条都可以构成一个三角形，证明：其中必有锐角三角形证明：为了便于叙述，不妨设a1a2a3a4a5，并设由它们中的任何3条组成的都不是锐角三角形，则由余弦定理可得：,a32a12a22，a42a22a32，a52a32a42，有a52a32a42(a12a22)(a22a32)a122a22a32a122a22a12a222a123a22.a522a123a222(a12a22)a22(a12a22)(a12a22)a22a122a1a2a22(a1a2)2.a5a1a2.a1，a2，

12、a5能构成三角形的三边，有a5a1a2，从而得出矛盾，故其中必有一个为锐角三角形,点评：1.反证法是常用的一种重要的思维方式和数学方法，在平面几何、不等式及立体几何中有着广泛的应用，反证法的一般步骤为：(1)反设：即作出与命题结论相反的假设；(2)归谬：将所作的假设为依据，通过严格的逻辑推理，导出矛盾；(3)下结论：判断产生矛盾的原因在于所作的假设是错误的，因此原命题正确,2正确地作出反设(即否定结论)，是正确运用反证法的前提，要注意一些常见结论的“否定形式”如“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式分别是“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是”3在推理时导致的矛盾是多种多样的可能

13、是：与已知矛盾；与公理、定义、定理、公式矛盾；也可以与反设矛盾或自相矛盾作出反设后，可把反设也当做已知条件的一部分，和原来的已知条件合并在一起，用它们的全部或部分进行推理，由于选的条件不同，得出的矛盾也不同可见矛盾是在推理过程中发现的，而不是推理之前设计或确定的,答案B,二、填空题2观察式子：112,23432,3456752,4567891072，则可得出一般结论：_.答案n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2,1(2010哈师大附中)(1)由“若a，b，cR，则(ab)ca(bc)”类比得到“若a，b，c为三个平面向量，则(ab)ca(bc)”(2)在数列an中，a10，an12an2，

14、通过归纳得到猜想an2n2(3)在平面内“三角形的两边之和大于第三边”，类比得到在空间中的结论：“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”,答案(2)(3)解析(1)不正确，(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，而a与c不一定共线；(2)正确，由an12an2得an122(an2)，an2是首项为a122，公比为2的等比数列，an22n，an2n2；(3)正确，由四面体ABCD的任意一个顶点如A，向对面作垂线垂足为O，则BOC，COD，BOD分别为ABC，ACD，ABD在平面BCD内的射影，而SABCSACDSABDSBOCSCODSBODSBCD；,2(2010福建文)观察下列等式

15、：cos22cos21；cos48cos48cos21；cos632cos648cos418cos21；cos8128cos8256cos6160cos432cos21；cos10mcos101280cos81120cos6ncos4pcos21.可以推测，mnp_.,答案962解析由题易知：m29512，p51050m12801120np11，mnp162.n400，mnp962.,3某资料室在计算机使用中，编码以一定规律排列，且从左至右以及从上到下都是无限的，如表所示，,则此表中主对角线上的数构成的数列1,2,5,10,17，的通项公式为_答案ann22n2，nN*解析由编码可得，第m行是

16、首项为1，公差为m1的等差数列，则第m行的第n个数为1(n1)(m1)，令mn，则有an1(n1)(n1)n22n2，nN*.,4先解答(1)，再根据结构类比解答(2)：(1)已知a，b为实数，且|a|ab.(2)已知a，b，c均为实数，且|a|abc.解析(1)ab1(ab)(a1)(b1)0.(2)|a|abc，abc2(ab)c11(abc)1(ab1)cabc.你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗？即xiR，|xi|1(i1,2，n)时，有_,6(2010山东日照市模拟)已知数列an的前n项和为Sn，且(a1)Sna(an1)(a0)(nN*)(1)求证数列an是等比数列，并求an

17、；(2)已知集合Ax|x2a(a1)x，问是否存在实数a，使得对于任意的nN*，都有SnA？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解析(1)当n1时，(a1)S1a(a11)，a1a(a0)n2时，由(a1)Sna(an1)(a0)得，(a1)Sn1a(an11),故an是以a1a为首项，公比为a的等比数列，anan.(2)当a1时，A1，Snn，只有n1时SnA，a1不适合题意a1时，Ax|1xa，S2aa2a，S2A，即当a1时，不存在满足条件的实数a.,当0a1时，Ax|ax1，,(1)求曲线E的方程(2)试问点A是否恒在一条直线上？证明你的结论；(3)若直线AG平分MAC，求直线MN的方程,