直线、平面平行和垂直的判定及其性质.ppt

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1、本章内容,2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系,2.2 直线、平面平行的判定及其性质,2.3 直线、平面垂直的判定及其性质,第二章 小结,第二章,点、直线、平面之间的位置关系,立体几何,2.3 直线、平面垂直的判定及其性质,直线与平面垂直的判定(第一课时),复习与提高,直线与平面垂直的判定(第二课时),平面与平面垂直的判定(第一课时),平面与平面垂直的判定(第二课时),第一课时,直线与平 面垂直的判定,返回目录,1.直线和平面垂直是怎样定义的?,2.用直线和平面垂直的判定定理证明线面垂直需要哪些条件?,问题 1.在你的感觉中,直线和平面垂直是怎样一种情况?你能说出我们教室里直线与平面垂直的

2、例子吗?你认为怎样定义直线与平面垂直恰当?,如果直线 l 与平面 a 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 a 互相垂直,记作 la,直线 l 叫做平面 a 的垂线,平面 a 叫做直线 l 的垂面.,线面垂直是线面相交的一种特殊情况,线面垂直,有且只有一个公共点,即交点,这个交点叫做线面垂直的垂足.,直线与平面垂直的定义:,1.直线与平面垂直的定义,画直线和水平平面垂直,要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.,画直线和竖直平面垂直,要把直线画成和表示平面的平行四边形的竖直边垂直.,问题2:已知平面 a 和空间任意一点 P,过点 P 能作 a 的几条垂线?为什么?,结论:过空

3、间任意一点,有且只有一条直线和已知平面垂直.,如果有两条,PAa,PBa,只有一条.,垂足分别为 A,B.,则 PA,PB 确定的平面,与 a 相交于一直线 AB.,A,B,于是 PAAB,PBAB,则在平面PAB内过一点有两条直线和已知直线垂直,根据平面几何知识,这显然不对.,问题 3.(1)请同学们用一块三角板的一条直角边放在桌面内,另外一条直角边不在桌面内,请问这另一条直角边与桌面垂直吗?(2)用一张有一定硬度的纸将一边对折后又展开,并将所折的边放在桌面上,看折痕是否垂直桌面?有不垂直的可能吗?,用定义判断线面垂直不太方便,怎样有较方便的方法判断线面垂直呢,我们先看下面的问题.,当A、B

4、、C 不共线时,折痕DC垂直桌面;,当A、B、C 共线时,折痕DC不一定垂直桌面.,2.直线与平面垂直的判定,如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.,符号表示:,la,lb,aa,ba,ab,la.,直线与平面垂直的判定定理:,由线线垂直得线面垂直.,问题 4.一旗杆高 8 m,在它的顶端系两条长10m 的绳子,拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点(与旗杆脚不在同一直线上).如果这两点与旗杆脚相距 6m,那么旗杆就与地面垂直,为什么?,如图,AB=8,AC=AD=10,BC=BD=6,ABC和ABD的三边,满足勾股定理,ABBC,ABBD,而 BC、BD

5、在地面内,C、B、D不在同一直线上,即 BC,BD相交,由线面垂直的判定定理知旗杆垂直于地面.,例 1.如图,已知 ab,aa.求证:ba.,m,证明:,在 a 内任作两相交直线 m、n,aa,ma,am,an,ba,bm,bn,又 m 与 n 相交,ba.,结论:两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.,n,na,练习(补充).已知 PQ 是平面 a 的垂线段,PA 是平面 a 的斜线段,直线 la.求证:(1)若 lPA,则 lQA;(2)若 lQA,则 lPA.,证明:,(1),PQa,la.,PQl.,若 lPA,l平面PQA.,QA平面PQA,lQA.,练习(补充

6、).已知 PQ 是平面 a 的垂线段,PA 是平面 a 的斜线段,直线 la.求证:(1)若 lPA,则 lQA;(2)若 lQA,则 lPA.,证明:,(2),PQa,la.,PQl.,若 lQA,l平面PQA.,PA平面PQA,lPA.,练习(补充).已知 PQ 是平面 a 的垂线段,PA 是平面 a 的斜线段,直线 la.求证:(1)若 lPA,则 lQA;(2)若 lQA,则 lPA.,Q 为垂线段 PQ 的垂足.,A 为斜线段 PA 的斜足.,QA 为斜线 PA 在平面 a 上的射影.,有三条线:,平面的斜线,斜线在平面上的射影,平面内的一条直线 l.,结论:,如果 l 斜线,则 l

7、射影;,如果 l射影,则 l斜线.,(三垂线定理),探究题.如图,直四棱柱 ABCD-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形ABCD 满足什么条件时,ACBD?,分析:,由题中定义知,侧棱 AA平面ABCD,从而 AABD.,又要使 ACBD,则需 BD平面AAC.,所以需在平面AAC内另找一条直线,容易考虑的是AC是否满足?,要使ACBD,四边形ABCD需满足:,BA=BC,且DA=DC.,与BD垂直且与AA相交.,(改为如下的证明题,请同学们给出证明),如图,直四棱柱 ABCD-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,已知 AB=BC,AD=DC,求证:BDAC.,

8、证明:,连结AC,AB=BC,BDAC,AA平面ABCD AABD,BD平面AACC,BDAC.,(定义),(判定),(定义),AD=DC,AAAC=A,AC 平面AACC,练习:(课本67页),第 1、2 题.,练习:(课本69页),1.如图,在三棱锥 V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求证:VBAC.,练习:(课本67页),证明:,D,取 AC 边的中点 D,连接 VD,BD.,VA=VC,VDAC,VB=BC,BDAC,AC平面VDB,而 VB平面VDB,ACVB.,2.过ABC所在平面 a 外一点 P,作 POa,垂足为 O,连接 PA,PB,PC.(1)若 PA=PB=PC,C=

9、90,则 O 是 AB 边的.(2)若 PA=PB=PC,则 O 是ABC 的 心.(3)若 PAPB,PBPC,PCPA,则 O 是ABC的 心.,解:,(1),如图,POa,则POA=POB=POC=90,又 PA=PB=PC,POAPOBPOC,得 OA=OB=OC,又C=90,直角三角形到三顶点的距离相等的点是斜边的中点.,中点,2.过ABC所在平面 a 外一点 P,作 POa,垂足为 O,连接 PA,PB,PC.(1)若 PA=PB=PC,C=90,则 O 是 AB 边的.(2)若 PA=PB=PC,则 O 是ABC 的 心.(3)若 PAPB,PBPC,PCPA,则 O 是ABC的

10、 心.,O,a,解:,(2),由(1)得 OA=OB=OC,中点,到三角形三顶点的距离相等,外,的点是三角形的外心.,2.过ABC所在平面 a 外一点 P,作 POa,垂足为 O,连接 PA,PB,PC.(1)若 PA=PB=PC,C=90,则 O 是 AB 边的.(2)若 PA=PB=PC,则 O 是ABC 的 心.(3)若 PAPB,PBPC,PCPA,则 O 是ABC的 心.,O,a,解:,(3),中点,外,由 PAPB,PAPC,得 PA平面PBC,PABC.,又由 POa 得 POBC,于是得 BC平面POA,BCAO.,同理可得 ABCO,O 为ABC的垂心.,垂,练习:(课本69

11、页),如图,正方形 SG1G2G3中,E,F 分别是 G1G2,G2G3 的中点,D 是 EF的中点,现在沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 G1,G2,G3 三点重合,重合后的点记为 G,则在四面体 S-EFG 中必有()(A)SGEFG所在平面(B)SDEFG所在平面(C)GFSEF所在平面(D)GDSEF所在平面,A,【课时小结】,1.线面垂直的定义,若直线 l 垂直平面 a 内的任意一直线,则叫 la.,应用:,若 la,则 l 垂直平面 a 内的任意一直线.,【课时小结】,2.线面垂直的判定定理,如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这

12、个平面.,【课时小结】,3.相关结论,过空间任意一点,有且只有一条直线和已知平面垂直.,两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.,如果平面内的一条直线垂直平面的斜线,则这条直线垂直斜线在平面上的射影;,如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的射影,则这条直线垂直斜线.,习题 2.3,B 组,第 2、4 题,习题 2.3,B 组,答:能判定.,由 VA=VB,AD=BD 得,VDAB.,又由VO平面 ABC 得,VOAB.,于是得AB平面VOD,OCD,ABOD.,ABCD,而 AD=BD,从而得 AC=BC.,4.如图,AB 是 O 的直径,点 C 是 O 上的动点

13、,过动点 C 的直线 VC 垂直于 O 所在平面,D,E 分别是 VA,VC 的中点.试判断直线 DE 与平面 VBC 的位置关系,并说明理由.,解:,DE平面VBC.,由直径所对的圆周角是直角得,ACBC.,又由 VC 垂直于 O 所在平面得,ACVC.,而 D,E 分别是 VA,VC 的中点得,DE/AC,DE平面VBC.,AC平面VBC.,第二课时,直线与平 面垂直的判定,返回目录,1.什么是斜线在平面上的射影?,2.直线和平面所成的角是由哪些元素构成?其范围是多少?,3.求直线和平面所成角的大小时,应掌握哪些要点?,问题5.如图,直线 l 与平面 a 斜交于一点 A,过点 A 在平面

14、a 内作直线 l1,l2,l3,这些直线与直线 l 的夹角中,你认为哪个角最小?怎样确定这个最小的角?,P,过 l 上任一点 P 作平面 a 的,O,垂线 PO,垂足为 O,连结 AO,则PAO 就是那个最小的角.,【直线和平面所成的角】,问题5.如图,直线 l 与平面 a 斜交于一点 A,过点 A 在平面 a 内作直线 l1,l2,l3,这些直线与直线 l 的夹角中,你认为哪个角最小?怎样确定这个最小的角?,P,O,一条直线 PA 和一个平面 a 相交,但不垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,其交点 A 叫做斜足.过斜线,上斜足以外的一点向平面引垂线 PO,过垂足 O 和斜足 A 的直线 AO

15、 叫斜线在平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.,【直线和平面所成的角】,POa=O,PQa,Q 为垂足,则 OQ 是 PO 在平面 a,POQ 是斜线 PQ 与,平面 a 所成的角.,上的射影.,特例1:如果直线垂直平面,直线和平面所成的角为直角;特例2:如果直线和平面平行或在平面内,就说直线和平面所成的角是0的角.,问题6.已知直线 l1、l2 和平面 a 所成的角相等,能否判断 l1l2?反之,如果 l1l2,l1,l2 与平面a 所成的角是否相等?,如图,ABa,CDa,AOB=COD.,而 AO 与 CO 不平行.,如图,ABCD,

16、AO1a,CO2a,则 AO1CO2,于是得BAO1=DCO2,则在直角三角形中得ABO1=CDO2.,结论:,和同一平面所成的角相等的两条斜线不一定平行.,两条平行线和同一个平面所成的角,一定相等.,例2.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.,分析:,需在平面A1B1CD上,找到直线A1B的射影.,即需找过A1B上的点垂直,平面A1B1CD的直线.,O,而 BB1,BC不可能垂直平面A1C,易看出对角线 BC1 有可能.,因为BC1B1C,还容易看出BC1A1B1,于是可连结BC1,交B1C于O,即A1O就是要找的射影.,BA1O就是

17、所要求的线面角,则可在RtBA1O中求.,例2.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.,解:,连结 BC1,交 B1C 于 O,则在正方形BCC1B1中,BC1B1C.,又A1B1平面BCC1B1,得 A1B1BC1.,O,则 BC1平面A1B1CD,O为垂足.,得 A1O为A1B在平面A1B1C1D上的射影.,BA1O就是直线A1B和平面A1B1CD所成的角,在 RtBA1O 中,A1B=BC1=2BO,得BA1O=30.,直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角是30.,例2.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,求直线

18、A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.,求线面角的要点:,(1)找斜线在平面上的射影,确定线面角.,(2)构造含线面角的三角形,O,通常构造直角三角形.,(3)在三角形中求角的大小.,练习(补充),如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,(1)求对角线 A1C 与平面 B1BCC1 所成角的正切值;(2)求 AA1 与平面 A1BD 所成角的正切值.,解:,(1),A1C是平面B1BCC1的斜线,A1B1是平面B1BCC1的垂线,B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影,则A1CB1为所求的线面角.,在RtA1B1C中,即 A1C 与平面 B1BCC1 所成角的正切值为,练习(补充),

19、O,如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,(1)求对角线 A1C 与平面 B1BCC1 所成角的正切值;(2)求 A1A 与平面 A1BD 所成角的正切值.,解:,(2),取 BD 的中点 O,连结 AO,A1O,过点 A 作 AEA1O,垂足为 E.,AB=AD,A1B=A1D,E,BDAO,BDA1O,则 BD平面A1AO,得 BDAE.,由得AE平面A1BD.,A1E是A1A在平面A1BD上的射影,O,E,则 AA1E 为所求的线面角.,在 RtA1AO 中,即 A1A 与平面 A1BD所成角的正切值为,【课时小结】,1.直线和平面所成的角,(1)平面的斜线与平面所成的角,斜线与

20、射影的夹角(锐角).,(2)平面的垂线与平面所成的角为90.,(3)平面的平行线或在平面内的直线与 平面所成的角为0.,斜线和平面所成的角是斜线和平面内所有直线所成角中最小的.,两条平行线和同一个平面所成的角相等.,【课时小结】,2.求线面角的要点,(1)找斜线在平面上的射影,确定线面角.,(2)构造含角的三角形,用三角函数求解.,练习(补充),2.已知三棱锥的三条侧棱长都等于 2,底面是等边三角形,侧棱与底面所的角为60,求三棱锥的体积.,1.若一直线与平面所成的角为 则此直线与该平面内任一直线所成的角的取值范围是.,1.若一直线与平面所成的角为 则此直线与该平面内任一直线所成的角的取值范围

21、是.,解:,如图,直线AB是直线PC在平面 a 内的射影,直线 PC 与平面 a 内的直线,所成的角中,PCA最小,直角最大.,则PC与平面内任一直线所成的角的范围是,2.已知三棱锥的三条侧棱长都等于 2,底面是等边三角形,侧棱与底面所成的角为60,求三棱锥的体积.,O,解:,作PO底面ABC,垂足为O,如图,O 为底面正三角形的中心,则PAO=PBO=PCO=60,PA=PB=PC=2.,得 RtPOARtPOBRtPOC,于是得 OA=OB=OC.,得 AO=1,底面ABC的高AE=,E,则 BC=2BE=,棱锥的体积为,3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1B与平面BC1D1

22、所成的角为.,解:,平面BC1D1就是平面ABC1D1,如图,E,连结A1D,交AD1于E,则A1EAD1,A1EAB,A1E平面ABC1D1,连结BE,则A1BE就是A1B与平面BC1D1所成的角,设正方体的棱长为a,在RtA1ED中,A1BE=30.,30,平面与平面垂直的判定,第一课时,返回目录,1.什么叫二面角?,2.二面角的大小是由什么确定的?求二面角的大小的关键是什么?,问题 1.当我们要求别人将一扇门(如教室门)开大点,或开小点时,用什么来度量,使开门的人能准确地按要求开门?,如图,两个平面相交,常要研究交成的角的大小,这就需要引入二面角.,【1】二面角,从一条直线出发的两个半平

23、面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.,如图,记作 二面角 a-l-b,或 二面角 a-AB-b,二面角 P-l-Q,二面角 P-AB-Q.,【2】二面角的平面角,要研究和度量二面角的大小,我们把它转化成从一点出发的两条射线的夹角.,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,如图,以棱 l 上任一点O为端点,在半平面 a 内作OAl,在半平面 b 内作OBl,则AOB就是二面角a-l-b 的平面角.,AOB的大小就是二面角 a-l-b 的大小.,二面角的大小就由它的平面角确定.,A,B,

24、O,卫星轨道平面,68.5,我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5.,赤道平面,即卫星轨道平面与赤道,平面所成的二面角是68.5.,问题 2.如图,ABC和DBC是空间的两个等边三角形,ABD和ACD是二面角 A-BC-D的平面角吗?如果不是,你能找出它的一个平面角吗?,答:ABD和ACD都不是二面角A-BC-D的平面角,因为它们的边与二面角的棱BC不垂直.,取BC的中点E,连结AE、DE,AED就是二面角A-BC-D的平面角.,则AEBC,DEBC,E,问题3.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,怎样计算二面角 A1-BD-C1 的大小.,解:,取 BD 的中点 O

25、,连结 A1O,C1O.,A1B=A1D,C1B=C1D,O,A1OBD,C1OBD,则A1OC1 就是二面角,A1-BD-C1 的平面角.,连结 A1C1.,可算出 A1C1O 的边A1C1,A1O,C1O.,以后学了余弦定理即可解得A1OC1.,E,也可作A1C1的高OE,在直角三角形中求角.,例(补充).如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB/DC,ABBC,PC平面ABCD,PC=CB=BA=2,DC=4,求二面角P-AD-C 的正切值.,分析:,目标:,在平面 PAD 内找 AD 的垂线,在平面 ABCD 内找 AD 的垂线.,凭直观,考查图中已有的角,找二面角P-AD-C 的平面角

26、.,线,点等.,PD,CDAD 否?,不垂直.,PA,BAAD 否?,BA与AD不垂直.,则考虑连结 AC,得ACD=45,如果ACAD,需CDA=45.,在底面梯形中可求得CDA=45.,例(补充).如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB/DC,ABBC,PC平面ABCD,PC=CB=BA=2,DC=4,求二面角P-AD-C 的正切值.,解:,PC=CB=BA=2,DC=4,ABCE 是正方形.,E,取 DC 的中点 E,连结 AE,AC.,得 AEDC,AE=DE,ADAC.,PC平面ABCD,则 ADE=45.,PCAD.,ABBC,又ACD=45,则 AD平面 PAC,得 ADPA.,

27、则PAC为二面角,P-AD-C 的平面角.,在底面求得 AC=,tanPAC=,练习(补充),2.30 的二面角的一个半平面内有一点 P,这点到棱的距离为 h,求点 P 到另一个半平面的距离.,1.在正方体ABCD-ABCD中,求二面角 A-BC-B的正切值.,G,解:,连接 BC交 BC 于 G,连结AG,ABBC,则 BGBC.,得 BCAG.,BC平面ABG.,AGB 为二面角 A-BC-B 的平面角.,在RtABG中,则 BG=,设 AB=1,2.30 的二面角的一个半平面内有一点 P,这点到棱的距离为 h,求点 P 到另一个半平面的距离.,解:,PQl 于Q,作 POb,Ob,连结

28、OQ.,则 PQO=30.,PQO是二面角的平面角.,在RtPOQ中,PO=,则 PQl.,O,如图,二面角a-l-b 是30.,Pa,PQ=h.,l平面 POQ,即点 P 到 b 的距离是,则 lOQ.,【课时小结】,1.二面角,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.,【课时小结】,2.二面角的平面角,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,二面角的大小由它的平面角确定.,AOB 是二面角 a-l-b 的平面角.,【课时小结】,3.求二面角的大小,(1)找到二

29、面角的两个半平面与棱.,(2)找二面角的平面角.,在两个半平面内找垂直于棱的直线,垂足为棱上同一点.,常用到线线垂直与线面垂直转换.,(3)通常在直角三角形中求平面角的大小.,习题 2.3,A 组,第 4、7 题.,4.如图,三棱锥 V-ABC中,VA=VB=AC=BC=2,AB=VC=1,试画出二面角 V-AB-C 的平面角,并求它的度数.,解:,取AB的中点D,连接 VD,CD,D,而 VA=VB=AC=BC=2,VDAB,CDAB,则VDC就是二面角V-AB-C的平面角.,而,则由勾股定理求得 VD=CD=1,又 VC=1,VCD是等边三角形,VDC=60,即二面角 V-AB-C 的大小

30、为60.,7.如图,正方体ABCD-ABCD中平面ABCD与正方体的其他各个面所成二面角的大小分别是多少?,解:,与上底面所成二面角,的平面角是,BCB,=45.,与下底面所成二面角的,平面角是,CB C,=45.,与前面所成二面角的,平面角是,BBC,=45.,与后面所成二面角的,平面角是,BCC,=45.,平面AC过左、右面的垂线AB,所以与左、右面成90的二面角.,平面与平面垂直的判定,第二课时,返回目录,1.平面与平面垂直是怎样定义的?,2.两平面垂直的判定定理的内容是什么?证明两平面垂直需要哪些条件?,平面角是直角的二面角叫做直二面角.,问题3.观察教室中的物体,哪些二面角是直二面角

31、?,【3】两个平面垂直的定义,一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.,平面 a 与平面 b 垂直,记作:ab.,画两个平面垂直,一般应把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直.,a,a,问题3.请同学们用一支铅笔垂直于你坐的桌面,再用书面或硬纸板紧靠铅笔,请问:书面与桌面构成直二面角吗?书面与桌面是否垂直?,两个平面垂直的判定定理:,一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.,符号表示:,la,l b,ba.,【4】两个平面垂直的判定,例3.如图,AB是O的直径,PA垂直于O所在的平面,C 是圆周上不同于 A,B 的任意一点.求证:平面 PAC平面

32、PBC.,解:,AB是O的直径,又C是O上的点,ACBC,又 PA圆面,BC圆面,PA BC,得 BC平面PAC,而 BC平面PBC,平面PBC平面PAC.,探究题.如图,已知AB平面BCD,BCCD,你能发现哪些平面互相垂直,为什么?,过AB的平面与底面垂直:,平面ABC平面BCD,平面ABD平面BCD.,又 BCCD,而由AB平面BCD得 CDAB,CD平面ABC,过CD的平面垂直平面ABC:,平面ACD平面ABC,平面BCD平面ABC(上面已有).,练习:(补充),证明:,ABC-A1B1C1是直三棱柱,BCCC1.,又ACB=90 BCAC,BC平面A1ACC1.,平面 A1BC平面A

33、1ACC1.,BC平面A1BC,2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别是AB,A1A 的中点.求证:平面 BCF平面B1C1E.,证明:,E,F 分别是 AB,A1A 的中点.,在正方形 ABB1A1中,B1C1 平面BAA1B1,B1C1BF.,由得 BF平面B1C1E,平面 BCF平面B1C1E.,BF 平面BAA1B1,BF平面BCF,B1EBF.,【课时小结】,1.两平面垂直的定义,2.两平面垂直的判定定理,两个平面相交成直二面角时,称这两个平面互相垂直.,一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.,习题 2.3,A 组,第 1、3、6 题.,B 组,第 1 题.,

34、习题 2.3,A 组,1.判断下列命题是否正确,正确的说明理由,错误的举例说明:(1)平面 a平面 b,平面 b平面 g 平面 a平面 g;(2)平面 a/平面 a1,平面 b/平面 b1,平面 a平面 b 平面 a1平面 b1.,解:,(1)错,如图.,(2)对.,ab,a/a1,a1b;,b/b1,a1b1.,解:,平面 VBA 平面 VBC.,其理由:,由VAB=VAC=90 得,VA平面ABC,则 VABC,又ABC=90,即 ABBC,BC平面VBA,而 BC平面VBC,平面 VBC 平面 VBA.,6.求证:如果共点的三条直线两两垂直,那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直.,已

35、知:PAPB,PAPC,PBPC.,求证:平面PAB平面PBC,平面PAB平面PAC,平面PBC 平面PAC.,P,A,B,C,证明:,PAPB,PAPC,PA平面PBC.,而 PA平面PAB,PA平面PAC,平面PAB平面PBC,平面PAC平面PBC.,同理可证平面PAB平面PAC.,B 组,证明:,在正方体中,底面 ABCD 是正方形,所以 ACBD.,又因为侧棱垂直底面,所以 AABD.,于是得 BD平面 AACC.,而 BD平面ABD,平面 ABD平面 AACC.,返回目录,1.直线与平面垂直的性质定理是什么?在什么条件下得到什么结论?,2.两平面垂直的性质定理是什么?在什么条件下得到

36、什么结论?,问题 1.长方体的侧棱是否都与底面垂直?这些侧棱是怎样的位置关系?请同时竖两支垂直于桌面的铅笔,这两支铅笔又有怎样的位置关系?,如图,l1a，l2 a，垂足分别为A、B.,如果 l1 l2,那么过垂足 A 可另作一直线 ml2,于是 ma.,过 l1与 m 作平面 ba=c,则 l1c,mc.,那么在平面 b 内过一点 A 就有两直线与 c 垂直,显然不可能,即 l1 l2不能成立,只有 l1/l2.,m,c,直线与平面垂直的性质,垂直于同一个平面的两条直线平行.,由线面垂直得线线平行.,线面垂直的性质定理:,符号表示:,l1a,l2a,l1/l2.,例(补充).已知一条直线 l

37、和一个平面 a 平行,求证:直线 l 上各点到平面 a 的距离(到 a 的垂线段长)相等.,a,l,A,B,b,证明:,过 l上任意两点 A、B 作,AAa,BBa,垂足为A、B,则 AABB,由AA、BB确定平面,设为b,得 ba=AB,la,l b,lAB,AA=BB(两平行线间的平行线段相等),即 l 上任意两点到平面 a 的距离相等.,问题2.设直线 a,b 分别在正方体ABCD-ABCD中两个不同的平面内,欲使 a/b,a,b 应满足什么条件?,分别满足下面的条件都可以:,(1)a,b 同垂直于一个面.,(2)a,b 同平行一条棱.,(3)用一个平面截相对的两个,面所得的交线即为 a

38、,b.,b,b,a,a,b,a,如图,练习:(课本71页),第 1、2 题.,练习:(课本71页),1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内划“”,错误的划“”.(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行.()(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行.()(3)一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直.(),2.已知直线 a,b 和平面 a,且 ab,aa,则 b 与 a 的位置关系是.,平行或在 a 内,b,b,a,a,分析:,借助长方体模型.,/a,a,问题 1.请同学们在一块硬纸板(或书面)上画一条垂直于某边的直线 l,再将硬纸板(或书面)与桌面垂直,并使这边在桌面

39、内.请问,你画的直线 l 与桌面是什么位置关系?为什么?,C,如图,在 a 内过点 D 作,CDAB,则l DC是二面角 a-AB-b,的平面角.,ba,平面角应是直角,则得 lCD.,la.,平面与平面垂直的性质,又 lAB,两平面垂直的性质定理:,两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.,符号表示:,ab,ab=m,lm,l a,lb.,问题 2.如图,ab,点 Pa,PQb.请问,PQ是否一定在 a 内?你能说出理由吗?,R,l,PQ一定在 a 内.,其理由:,设 ab=l,过点 P 作 PRl,Rl,ab,PRb,过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,PQ与PR重合

40、为同一条直线,即 PQ 必在 a 内.,例4.已知平面 a,b,ab,直线 a 满足 ab,aa,试判断直线 a 与平面 a 的位置关系.,m,解:,ab,设 ab=m,在 a 内作 bm,bb.,ab,ab,ba,aa,aa.,即直线 a 与平面 a 互相平行.,问题:(课本76页探究),已知平面 a,b,直线 a,且 ab,ab=AB,a/a,aAB,能判断直线 a 与平面 b 的位置关系吗?,解:,b,a/a,g,过 a 作平面 ga=b,则 a/b.,而 aAB,则 bAB,而 ab,交线是 AB,bb,则 ab.,两平面垂直,平行于一平面的直线垂直于另一平面.,练习:(课本73页),

41、第 1、2 题.,1.下列命题中错误的是()(A)如果平面 a平面 b,那么平面 a 内所有直线都垂直于平面 b(B)如果平面 a平面 b,那么平面 a 内一定存在直线平行于平面 b(C)如果平面 a 不垂直于平面 b,那么平面 a 内一定不存在直线垂直于平面 b(D)如果平面 a平面 g,平面 b平面 g,ab=l,那么lg,练习:(课本77页),(D)选项的证明看“习题2.3”第 5 题.,A,2.已知两个平面垂直,下列命题 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线.一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面.过一个平面内任

42、意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是()(A)3(B)2(C)1(D)0,另一个平面内垂直于前一个平面的无数条直线.,B,【课时小结】,1.直线与平面垂直的性质定理,垂直于同一个平面的两条直线平行.,由线面垂直得线线平行.,能推得线线平行的有:,公理4.,线面平行的性质定理.,面面平行的性质定理.,线面垂直的性质定理.,【课时小结】,2.平面与平面垂直的性质定理,两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.,两平面垂直,平行于一平面的直线垂直于另一平面.,习题 2.3,A 组,第 2、5、8、9 题.,B 组,第 3 题.,习题 2.3,A 组,2.

43、已知平面 a,b,g,且 ag,b/g,求证 ab.,证明:,在 g 内作直线 am,aa.,ag,过 a 作平面 db=b,bg,a/b,b b,ba.,b,如图,设 a 与 g 的交线为 m,m,而 aa.,ba.,5.已知平面 a,b,g 满足 ag,bg,ab=l.求证 lg.,l,证明:,如图,设 ag=m,bg=n.,取 Pg,Pm,Pn,m,n,P,A,B,作 PAm,PBn.,ag,bg,PAa,PBb.,又 ab=l,PAl,PBl.,PAg,PBg,PAPB=P,lg.,8.如图,m,n 是两条相交直线,l1,l2 是与 m,n 都垂直的两条直线,且直线 l 与 l1,l2

44、 都相交,求证:1=2.,证明:,l1m,l1n,mn=O,m、n 确定的平面,设为 a,l1a,同理,l2a,l1l2,又直线 l 与 l1、l2 都相交,1=2.,9.求证:两条平行线和同一个平面所成的角相等.,如果两平行线中的一条垂直平面,则另一条也垂直这个平面,它们与平面所成的角都等于90.,证明:,如果两平行线中的一条与平面所成的角是 0,则另一条平行平面或在平面内,即另一条与平面所成的角也是 0.,当两平行线是平面的斜线时,如图,E,已知:ABa=B,CDa=D,ABCD.,分别过AB、CD上的点,E、F 作 EMa,垂足为M,FNa,垂足为N.,N,M,F,且得 EMFN,又 A

45、BCD,BEM=DFN,于是在两直角三角形中可得EBM=FDN,则MB、ND分别是EB、FD在,即两平行线与平面 a 所成的角相等.,9.求证:两条平行线和同一个平面所成的角相等.,证明:,求证:AB,CD 与 a 所成的角想等.,平面 a 内的射影.,B 组,3.求证:三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.,已知,如图,ab,ag,bg,ab=AO,ag=BO,bg=CO.,求证:AOBO,AOCO,BOCO.,证明:,取点 Pg,PBO,PCO,E,F,作 PEBO,PFCO,ga,ga=BO,gb,gb=CO,PEa,PFb.,而 AOa,AOb,PEAO,PFAO,则 AOg,又 BOg

46、,COg,P,AOBO,AOCO.,又 ba,ba=AO,COb,COa,BOa,COBO.,复习,提高,与,返回目录,1.线面垂直的定义,定义可用于推证线线垂直.,如果直线 l 与平面 a 内的任意一条直线都垂直,就说直线 l 与平面 a 互相垂直.,2.线面垂直的判定,两平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直这个平面.,如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.,过空间任意一点,有且只有一条直线和已知平面垂直.,3.三垂线定理,如果平面内的一条直线垂直平面的斜线,则这条直线垂直斜线在平面上的射影;,如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的射影,则

47、这条直线垂直斜线.,4.直线和平面所成的角,平面的斜线和斜线在平面上的射影的夹角.,要点:,(1)由线面垂直找射影;,(2)在三角形中计算.,特例:,(1)线面垂直,线面角为90.,(2)线面平行或在其内,线面角为0.,5.直线与平面垂直的性质,垂直于同一个平面的两条直线平行.,由线面垂直得线线平行.,6.二面角,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.,7.二面角的平面角,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,二面角的大小由它的平面角确定.,AOB 是二面角

48、a-l-b 的平面角.,8.两平面垂直的定义与判定,定义:,判定:,两个平面相交成直二面角时,称这两个平面互相垂直.,一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.,9.两平面垂直的性质,两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.,两平面垂直,平行于一平面的直线垂直于另一平面.,例题选讲,返回目录,例 1.如图,已知PA垂直于矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点,若PDA=45.求证:MN平面PCD.,分析:,需证MN垂直PCD三边中的两边.,若 MN平面PCD,注意 N 是 PC 的中点,则 MN 必是 PC 的中垂线.,即考虑 MP=MC.,于是思考是否PA

49、MCBM,由此可得 MNPC.,又如此思考 MN 是否是 AB 的中垂线,即 NA=NB 是否成立?,NA,NB分别是RtPAC和RtPBC斜边PC的中线,NA=NB 即可成立.,例 1.如图,已知PA垂直于矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点,若PDA=45.求证:MN平面PCD.,证明:,PA矩形ABCD,PDA=45,连结 PM,CM,PAD是等腰直角三角形.,则 PA=AD=BC.,又 M 是 AB 的中点得 AM=BM,得 RtPAMRtCBM,MP=MC.,而 N 是 PC 的中点,MNPC.,由 PA矩形ABCD,得PAC 是直角三角形.,由 CBAB,CBPA,得

50、PBC 是直角三角形.,则 AN,BN 是两直角三角形斜边 PC 的中线,AN=BN,得 MN 是 AB 的中垂线,MNAB.,由 AB/DC,得 MNDC.,由得 MN平面 PCD.,例 1.如图,已知PA垂直于矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点,若PDA=45.求证:MN平面PCD.,其他思考:,E,思考一:,证 MNPC 同上.,要证 MNDC,可作PCD,的中位线 NE.,证 DC平面 NEM,即可证得 DCMN.,例 1.如图,已知PA垂直于矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点,若PDA=45.求证:MN平面PCD.,其他思考:,F,思考二:,将 MN