泊松过程的性质.ppt

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1、1,随机数学,第7讲 泊松过程的性质教师:陈 萍,2,2.2 泊松过程的性质2.2.1 到达时间间隔与到达时刻的分布,设N(t),t0为泊松过程，N(t)表示在0,t内事件发生的次数，令，表示第k个事件发生的时刻;表示第k-1个事件与第k个事件发生的时间间隔，即,先讨论到达时间间隔 的Tk分布.,3,定理2.2.1 到达时间间隔序列 相互独立同分布，且服从参数为 的指数分布.,定理 提供了Poisson过程的参数估计方法.,EX,设事件的发生过程N(t),t0为Poisson过程.某日从0点开始,记录到事件发生时刻为0:33,1:00,2:27,3:05,3:36的取值.试用极大似然法估计该过

2、程的强度.,4,参数的极大似然估计:一般地,若从0时刻开始,观察到Poisson过程N(t),t0的一段样本轨道:1,n的取值:t1t2,tn,由于,1,2-1,n-n-1独立同指数分布,于是似然函数为,令,得的极大似然估计为:,5,定理 到达时间 的概率密度函数为,定理 提供了Poisson过程的参数的区间估计法:根据定理2.2.2,的概率密度函数为,备查：1）的特征函数为,分布函数为：,6,取置信度为,则,故置信度为 的置信区间为,这与 的密度相同,即,7,推论 设N(t),t0是参数为的泊松过程，k1为其到达时刻，则对任意的0，上的可积函数f，有,证:,8,例 设一系统在0,t内承受的冲

3、击数N(t),t0是参数为的泊松过程，第i 次受冲击的损失为Di.设Di,i1独立同分布,且与N(t),t0独立,且损失随时间按负指数衰减,即t=0时损失为D,在t时损失为,设损失是可加的,那么到系统在0,t内受到冲击的损失之和为,其中i为第i次冲击到达的时刻,求,9,定理2.2.3 若计数过程N(t),t0的到达时间间隔序列 是相互独立同参数为的指数分布，则 N(t),t0是参数为的泊松过程.,定理2.2.3 提供了对泊松过程进行计算机模拟及其统计检验的理论基础与方法，只需产生n个同指数分布的随机数,将其作为Ti,i=1,即可得到Poisson过程的一条样本轨道.,10,要检验N(t),t0

4、是否为Poisson过程,可转化为检验相邻两次跳跃间隔时间Tn=tn tn-1,n1是否为指数分布总体的 样本.,课外练习,设观察到某记数过程N(t),t0的一段样本轨道1,50的取值如下,检验N(t),t0是否为Poisson过程.0.03,0.76,1.01,1.37,1.43,1.56,1.95,3.95,4.05,4.45,4.70,4.81,4.85,5.00,5.87,6.32,6.36,6.40,6.85,6.90,8.33,8.85,8.95,11.26,12.25,13.04,13.85,14.11,14.76,15.56,17.65,17.80,18.20,18.24,18

5、.62,19.06,19.14,19.46,20.26,20.46,20.55,22.51,22.70,23.19,23.28,23.63,23.80,24.22,24.81,25.65,11,EX,设有n位顾客在0时刻排队进入仅有一个服务员的系统.假定每位顾客的服务时间独立,均服从参数为的指数分布.以N(t)表示到t时刻为止已被服务过的顾客人数.求（1）EN(t);（2）第n位顾客等候服务时间的数学期望;(3)第n位顾客能在t时刻之前完成服务的概率.,提示:的分布函数是,12,解:（1）由定理2.2.3,N(t),t0为强度possion 过程，故 EN(t)=t；（2）记第n位顾客完成服务

6、的时间为，根据定理2.2.2,第n位顾客等候服务时间为,(3)根据定理2.2.2,或,13,2.2.2 到达时刻的条件分布,本节讨论在给定N(t)=n 的条件下，的条件分布及其有关性质。,这个定理说明，由于泊松过程具有平稳独立增量性，从而在已知0,t 上有1个事件发生的条件下,事件发生的时间1应该服从0，t上的均匀分布。对此我们自然要问：(1)这个性质是否可推广到的 情形？(2)这个性质是否是泊松过程特有的？换言之，其逆命题是否成立？,定理 设 是泊松过程，则对 有,14,为回答(1),需要如下关于顺序统计量的性质:引理 设Y1,Yn是独立同分布,非负的随机变量,密度函数为f(y),记 为相应

7、的顺序统计量,则 的联合密度函数为:,特别,若Yi,1in在0,t上独立同均匀分布,则其顺序统计量 的联合密度函数为,15,定理2.2.5 设N(t),t0为参数（或强度）的泊松过程，若在0,t)内有n个事件相继到达，则n个到达时刻 的联合分布和n个服从0,t)上均匀分布的且相互独立的随机变量Uk(k=1,2,n)的顺序统计量 的联合分布相同.,即,16,则N(t),t0为泊松过程.证略.,定理 设N(t),t0为计数过程，Tn为第n个事件与第n-1个事件的时间间隔，独立同分布且分布函数为F(x)，若F(0)=0，且对,都有,对问题(2),即逆命题,有如下定理:,定理 设N(t),t0为跃度为

8、1的计数过程，满足，t0,N(t)P(t),且在N(t)=n条件下，的条件概率密度是,则N(t),t0为泊松过程.证略,17,定理2.2.6-2.2.7 提供了对泊松过程进行计算机模拟和检验的理论基础与方法：1）选定t0，产生服从参数为t 的泊松分布的随机数n；2）假定n0，独立的产生 n个在服从0，t上的均匀分布的随机数，将这n 个数按从小到大的顺序排列得；,3）我们可以用 i作为过程的第i 个点发生时间而得到过程在0,t 上的一条轨道.,18,要检验N(t),t0是否为Poisson过程，,1）t0，检验在N(t)=1 下,1=T1 是否服从U(0,t)；2）给定t0，检验在N(t)=n 下，的条件分布是否与U(0,t)上n个独立均匀分布的顺序统计量的分布相同.(详见教材p73-74),19,设一系统在0,t内承受的冲击数N(t),t0是参数为的泊松过程，第i 次受冲击的损失为Di.设Di,i1独立同分布,且与N(t),t0独立,且损失随时间按负指数衰减,即t=0时损失为D,在t时损失为,设损失是可加的,那么到系统在0,t内受到冲击的损失之和为,其中i为第i次冲击到达的时刻,求,EX,用定理2.2.5 解例,