高等数学课件-D72可分离变量微分方程.ppt

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1、2023/10/31,同济版高等数学课件,转化,可分离变量微分方程,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第七章,2023/10/31,同济版高等数学课件,分离变量方程的解法:,设 y(x)是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,当G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,的隐函数 y(x)是的解.,则有,称为方程的隐式通解,或通积分.,同样,当 F(x)=f(x)0,时,由确定的隐函数 x(y)也是的解.,设左右两端的原函数分别为 G(y),F(x),说明由确定,2023/10/31,同济版高等数学课件,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C 为任意常数)

2、,或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解 y=0),2023/10/31,同济版高等数学课件,例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C=1,(C 为任意常数),故所求特解为,2023/10/31,同济版高等数学课件,例3.求下述微分方程的通解:,解:令,则,故有,即,解得,(C 为任意常数),所求通解:,2023/10/31,同济版高等数学课件,练习:,解法 1 分离变量,即,(C 0),解法 2,故有,积分,(C 为任意常数),所求通解:,积分,2023/10/31,同济版高等数学课件,例4.,子的含量 M 成

3、正比,求在,衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 的变化规律.,解:根据题意,有,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知 t=0 时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,2023/10/31,同济版高等数学课件,例5.,成正比,求,解:根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t 足够大时,2023/10/31,同济版高等数学课件,例6.有高

4、1 m 的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度 h 随时间 t 的变,解:由水力学知,水从孔口流出的流量为,即,求水,小孔横截面积,化规律.,设在,内水面高度由 h 降到,2023/10/31,同济版高等数学课件,对应下降体积,因此得微分方程定解问题:,将方程分离变量:,2023/10/31,同济版高等数学课件,两端积分,得,利用初始条件,得,则得容,器内水面高度 h 与时间 t 的关系:,可见水流完所需时间为,因此,2023/10/31,同济版高等数学课件,内容小结,1.微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2.可分离变量方程的求解方法

5、:,说明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数.,解;,阶;,通解;,特解,y=x 及 y=C,2023/10/31,同济版高等数学课件,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1)根据几何关系列方程(如:P298 题5(2),2)根据物理规律列方程,3)根据微量分析平衡关系列方程,(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.,(3)求通解,并根据定解条件确定特解.,3.解微分方程应用题的方法和步骤,例4,例5,例6,2023/10/31,同济版高等数学课件,思考与练习,求下列方程的通解:,提示:,(1)分离变量,(2)方程变形为,2023/10/31,同济版高等数学课件,作业,P 304 1(1),(5),(7),(10);2(3),(4);4;5;6,第三节,