课件-现代控制理论-刘豹第三版-第5章.ppt
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1、5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性,5.2 极点配置问题,5.3 系统镇定问题,5.4 系统解耦问题,5.5 状态观测器,5.6 利用状态观测器实现状态反馈的系统,5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性,状态反馈,状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入。,下(图一)是一个多输入一多输出系统状态反馈的基本结构。,图中受控系统的状态空间表达式为:,式中,简记为,式中,v 为 维参考输人;K为 维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵。对单输入系统,K为 维行矢量。,(1),把式(3)代人式(1)整理可得状态反馈闭环系
2、统的状态空间表达式:,闭环系统的传递函数矩阵:,比较开环系统 与闭环系统 可见,状态反馈阵K的引入,并不增加系统的维数,但可通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值,从而使系统获得所要求的性能。,(4),(6),5.1.2 输出反馈,输出反馈是采用输出矢量y构成线性反馈律。在经典控制理论中主要讨论这种反馈形式。(图二)示出多输入一多输出系统输出反馈的基本结构。,其中日为 维输出反馈增益阵。对单输出系统,H为 维列矢量。,闭环系统状态空间表达式可由式(7)代入式(9)得:,(10),再把式(1 1)代入式(7)求得:,(12),简记。由式(13)可见,通过选择输出反馈增益阵日也可以改变闭环系统的特
3、征值,从而改变系统的控制特性。,输出反馈系统的传递函数矩阵为:,若受控系统的传递函数矩阵为:,存在下列关系:,(14),(15),从系统输出到状态矢量导数 的线性反馈形式在状态观测器获得应用。(图三)表示这种反馈结构:,比较上述两种基本形式的反馈可以看出,输出反馈中的HC 与状态反馈中的K 相当。但由于,所以H 可供选择的自由度远比K 小,因而输出反馈只能相当于一种部分状态反馈一只有当 时,才能等同于全状态反馈。因此,在不增加补偿器的条件下,输出反馈的效果撮然不如状态反馈系统好。但输出反馈在技术实现上的方便性则足其突出优点。,5.1.3 从输出到状态矢量导数反馈,加入从输出y到状态矢量导数 的
4、反馈增益阵,可得闭环系统:,将式(19)中的y 代入 整理得:,(18),(19),(20),若D=0,则,(21),5.1.4 动态补偿器,上述三种反馈基本结构的共同点是,不增加新的状态变量,系统开环与闭环同维。其次,反馈增益阵都是常矩阵,反馈为线性反馈。在更复杂的情况下,常常要通过引入一个动态子系统来改善系统性能,这种动态子系统,称为动态补偿器。,它与受控系统的连接方式如图54所示,其中图a为串联连接,图b为反馈连接。,5.1.5 闭环系统的能控性与能观性,定理5.1.1 状态反馈不改变受控系统 的能控性。,但不保证系统的能观性不变。,证明 只证能控性不变。这只要证明它们的能控判别矩阵同秩
5、即可。,受控系统0和状态反馈系统0的能控判别阵为:,实际上,受控系统 的传递函数为:,(25),将0的能控标准I型代入上式,得:,(26),引入状态反馈后闭环系统的传递函数为:,(27),定理5.1.2 输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性。,证明 关于能控性不变。因为,(28),若把(HC)看成等效的状态反馈阵K,那么状态反馈便保持受控系统的能控性不变。,关于能观性不变。由能观判别矩阵,定理5.2.1 采用状态反馈对系统 任意配置极点的充要条件是0完全能控。,5.2 极点配置问题,采用状态反馈,证明 只证充分性。若0完全能控,通过状态反馈必成立,式中,为期望特征多项式。,(31),(32)
6、,式中,为期望的闭环极点(实数极点或共轭复数极点)。,1)若0完全能控,必存在非奇异变换:,式中,受控系统0的传递函数为:,(34),可求得对 的闭环状态空间表达式:,(36),闭环特征多项式为:,式中,(37),闭环传递函数为:,3)使闭环极点与给定的期望极点相符,必须满足:,(38),由等式两边 同次幂系数对应相等可解出反馈阵各系数:,于是得:,(39),4)最后,把对应于 的,通过如下变换,得到对应于状态 的:,这是由于 的缘故。,5.2.2 采用输出反馈,定理5.2.2 对完全能控的单输入一单输出系统,不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置。,证明 对单输入一单输出反馈系统,
7、闭环传递函数为:,(40),定理5.2.3 对完全能控的单输入单输出系统 通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件是:,5.2.3 采用从输出到反馈,定理5.2.4 对系统 采用从输出到 的线性反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是0完全能观。,证明 根据对偶原理,如果 能观则 必能控,因而可以任意配置 的特征值,而 的特征值和 的特征值相同,又因为,因此,对 任意配置极点就等价于对A+Gc任意配置极点。于是设计 输出反馈阵G 的问题便转化成对其对偶系统 设计状态反馈阵K的问题。具体步骤如下:,将系统 化成能观标准型:,式中,为能将系统化成能观标准型的变换矩阵。,(42),(2)引入
8、反馈阵 后,得闭环系统矩阵:,式中,(43),和闭环特征多项式:,(3)由期望极点得期望特征多项式:,(44),(4)比较 各对应项系数,可解出:,和求状态反馈阵K 的情况类似,当系统的维数较低时,只要系统能观,也可以不化成能观标准型,通过直接比较特征多项式系数米确定G 矩阵。,5.3 系统镇定问题,定理5.3.1对系统,采用状态反馈能镇定的允要条件是其不能控子系统为渐近稳定。,证明(1)设系统 不完全能控,因此通过线性变换可将其按能控性分解为:,(1),式中,为能控子系统;为不能控子系统。,(2)由于线性变换不改变系统的特征值,所以有:,(3)由于 在能控性和稳定性上等价。考虑对 引人状态反
9、馈阵:,(2),(3),于是得闭环系统的状态矩阵:,(4),和闭环特征多项式:,(5),定理5.3.2 系统 通过输出反馈能镇定的充要条件是 0结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的,其余子系统是渐近稳定的。,证明(1)对进行能控性能观性结构分解,有:,比较式(5)与式(2)可见,引入状态反馈阵,只能通过选择 使 的特征值均具有负实部,从而使,这个子系统为渐近稳定。但 的选择并不能影响 的特征值分布。因此,仅当 的特征值均具有负实部,即不能控子系统 为渐近稳的此时整个系统 才是状态能镇定的。,(6),(2)因为 能控性和能观性和能镇定性 上完全等价,所以对 引入输出反馈阵H,可得闭环系
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