行列式及矩阵的秩.ppt

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1、第2章 行列式及矩阵的秩,行列式是十分有用的工具，利用它可以进一步研究矩阵及定义许多重要概念.本章介绍了行列式的概念、性质和计算方法，给出了行列式的一些应用：解线性方程组的克莱姆法则、定义矩阵的秩及求可逆矩阵逆矩阵的公式.,第2章 目录,第 2.1 节 行列式的概念第 2.2 节 行列式的性质第 2.3 节 克莱姆法则第 2.4 节 矩阵的秩第 2.5 节 数学实验,第2.1节 行列式的概念,本节从二、三阶行列式出发，给出n阶行列式的概念.基本内容：二阶与三阶行列式二元与三元线性方程组解的行列式表示n阶行列式,返回,1.二阶与三阶行列式,(1)二阶行列式,定义 已知2阶方阵,称,为二阶行列式，

2、记作A 或detA.例如：,(2)3阶行列式,定义 已知3阶方阵,称,为三阶行列式.而,称为元素 a11,a12及a13的余子式；而称Aij=(-1)i+jMij为元素aij的代数余子式.,在3阶行列式中分别划去元素a11,a12及a13后剩余的元素保持原来的次序构成的2阶行列式,例如：行列式,中元素1,4,6的代数余子式为,利用代数余子式的概念,上述定义可表述为：三阶行列式等于第1行各元素与其相应的代数余子式乘积之和，即,例1 计算3阶行列式,解 由定义，有,2.二元、三元线性方程组解的行列式表示,为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：,利用二阶行列式定义，解中的分母可写作,解中的分子可

3、分别记为：,这里Dj(j=1,2)是将系数行列式D的第j列换为右端常数项而得的行列式.,系数行列式,例2 解二元线性方程组,解:方程组未知量的系数所构成的二阶行列式,方程组有唯一解.又,于是方程组的解为,例3 解线性方程组,解：系数行列式,方程组有唯一解.又,于是方程组的解为,3.n阶行列式定义,利用递推方法，可以得到n阶行列式的定义.定义：n阶矩阵 A=(aij)nn的行列式等于第1行各元素与其相应的代数余子式乘积之和，即,也称为n阶行列式按第1行展开.,例4 计算行列式,解 由行列式定义，有,例5 证明n阶行列式(下三角),证：由定义，有,下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积！,类

4、似地，可以证明,4.转置行列式定义：如果将行列式D的行换为同序数的列，得到的新行列式称为D的转置行列式，记为DT.即若,用定义计算,思考练习,答案,第2.2节 行列式的性质,1.行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）证：当n=2时，结论显然成立.假设n=k-1时结论成立,现证n=k时结论成立.由行列式的递推定义，有,由于Ai1(i=1,2,k)为k-1阶行列式,由归纳法假设,有,返回,据此知：行列式的“行”成立的性质,对“列”也成立；反之亦然.,例1 计算行列式,解,性质2 互换行列式的两行(rirj)或列(cicj)，行列式的值变号.,推论 若行列式D有两行(列)完全

5、相同,则D=0.性质3 行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.即,推论(1)若D中一行(列)所有元素为零,则D=0；(2)若D的两行(列)对应元素成比例,则D=0.,性质3的证明,证：若第1行有公因子,利用定义知结论成立.一般地，若第i行有公因子,互换第1行和第i行，有,性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两项之和,则可把该行列式化为两个行列式的和，而这两个行列式这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余位置的元素不变.即,性质5 行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数 k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变,即,性质6 行列式D的值等于它的任一行（

6、列）元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,这里Aij为元素aij的代数余子式.证：当i=1时,为行列式的递推定义,结论成立；当i 1时,将D的第i行依次与它的前i-1行互换,得到行列式D1,且有,从而,按行(列)展开定理,性质7 n阶行列式,的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即,证,考虑辅助行列式,0=,t列,j列,例2 计算行列式,解,解,解,本例是利用行列式性质将其化为上三角形,再利用已知结果得出其值的！,例3 计算行列式,解,选取“0”多的行或列,化出“0”多的行或列，降阶计算，最常用.,例4 计算行列式,解,例5 证明,证,证,例6 计算n阶行列式,

7、解,例7 计算n阶行列式,解(2),解(3),解(1),解(1),注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有,返回,解(2),注意到行列式各行元素之和等于,有,返回,解(3),返回,箭形行列式,例8 已知4阶行列式,解,法1,法2,利用行列式的性质6，简化计算.,例9 范得蒙行列式（Vandermonde),记住结果！,例如,2.证明,1.计算行列式,思考练习,答案,=右边,2.拉普拉斯（Laplace）定理,k阶子式 在n阶行列式中，任意选定k行、k列（1kn）位于这些行列交叉处的k2个元素按原来顺序构成的一个k阶行列式N，称为行列式D的一个k阶子式.k阶子式N的余子式及代数余子

8、式 在D中划去k行、k列后，余下的元素按原来顺序构成的一个n-k阶行列式M，称为k阶子式N的余子式;而,为其代数余子式.这里i1,i2,ik,j1,j2,jk分别为 k阶子式N的行标和列标.,在n阶行列式,定理 1(Laplace),任意取定k行(1 kn),由这k行元素组成的k阶子式M 1,M 2,M t 与它们的代数余子式 的乘积之和等于D，即,解,例10 计算行列式,一般地,定理2(行列式的乘法定理)设A、B为n阶方阵，则|AB|=|A|B|.,特别地，对n阶方阵A有,例11,解,第2.3节 克莱姆法则,下面以行列式为工具,研究含有n个未知量、n个方程的n元线性方程组的问题.定理（克莱姆

9、法则）如果n元线性方程组,则方程组有唯一解,的系数行列式,返回,其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式D中第j列的元素换成方程组的常数项b1,b2,bn所构成的n级行列式,即,定理的结论有两层含义：方程组（1）有解；解唯一且可由式(2)给出.,证 首先证明方程组(1)有解.事实上,将,代入第i个方程的左端，再将Dj按第j列展开,得,即式(2)给出的是方程组(1)的解.,下面证明解唯一.设xj=cj(j=1,2,n)为方程组(1)的任意一个解，则,以D的第j列元素的代数余子式 A1j,A2j,Anj依次乘以上各等式，相加得,从而 Dcj=Dj 由于D0,因此,即方程组的解是唯一的.,推论1 如

10、果线性方程组(1)无解或有两个不同解，则D=0；推论2 如果齐次线性方程组,的系数行列式D0，则方程组只有零解;而若方程组有非零解，则D=0.可以证明:系数行列式D=0，是方程组(3)有非零解的充分必要条件.,例1 解线性方程组,解 系数行列式,例2 若齐次线性方程组有非零解，求值.,解 系数行列式,方程组有非零解，则D=0.于是=3或=0.,例3,解,第2.4节 矩阵的秩,基本概念矩阵秩的求法满秩矩阵的求逆公式,返回,1.基本概念,定义1 矩阵A=(aij)mn中,任取k行k列(kminm,n),位于交叉点处的k2个元素按原相应位置构成的 k 阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.定义2 矩阵A中

11、不为零的子式的最高阶数r称为矩阵A的秩.记作r(A).规定:零矩阵的秩为零，即r(0)=0.因此,对任意mn矩阵A，有0r(A)minm,n.定理1 一个mn矩阵A的秩为r是A有一个r阶子式不为零，而一切r+1阶子式(如果有的话)都等于零.,例1 求矩阵的秩,解(1)A的2阶子式,所有3阶子式,所以r(A)=2.(2)由于矩阵A的最后一行元素均为零,因此A的所有4阶子式均为零，而容易看出A的一个3阶子式,所以r(A)=3.,阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数.,2.初等变换求矩阵的秩,定理2 初等变换不改变矩阵的秩.,将矩阵用初等行变换化为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的个数即为矩阵的秩.,例2

12、 求矩阵的秩.,解 由,得 r(A)=2.,例3 求矩阵A的秩,解,当a=-8,b=-2,r(A)=2;当a=-8,b-2,r(A)=3；当a-8,b=-2,r()=3;当a-8,b-2,r()=4.,据定理2,可得如下结论:,推论1 等价矩阵具有相同的秩.推论2 设A为mn矩阵，则对m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，有r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)=r(A).推论3 r(A)=r 存在可逆矩阵P，Q，使,3.满秩矩阵的逆矩阵公式,定义 设A为n阶方阵,若r(A)=n，称A为满秩矩阵;若r(A)n,称A为降秩矩阵.容易得：A为满秩矩阵|A|0.进一步有定理3 阶方阵可逆(满秩)|A|0,且

13、当A可逆时,有,这里,称为的伴随矩阵,Aij为元素aij的代数余子式.,因A可逆，故有B，使 AB=E.,()由,证,(),即A可逆，,矩阵可逆性判别及其求法,例4下列矩阵是否可逆？若可逆，求逆矩阵.,解,故可逆，且,主对角线元素互换,副对角线元素改变符号.,解(2),关于矩阵A的伴随矩阵的几点说明：,对n阶方阵A，总有相应的伴随矩阵A*，并不依赖于A的可逆性；可以验证，有如下等式：若A可逆，,例5,解,4.若 n 阶矩阵 A 可逆,试证 A 的伴随阵也可逆,并写出其逆阵的公式.,答案,思考练习,第2.5节 数学实验,1.命令DetA,用以计算方阵A的行列式.2.命令RowReduceA,用以将矩阵A化为行最简形，从而求出A的秩.3.命令InverseA,以用求出矩阵A的逆矩阵.,例 1,返回,解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令,DetA按“Shift+Enter”键，便得|A|的值.,例2,解,根据A的行最简形，得r(A)=3.,例3,解 打开Mathematica4.0窗口，键入命令,B=InverseA“A-1=”MatrixFormB按“Shift+Enter”键，便得矩阵A的逆矩阵.,