疲劳与断裂力学第5章线弹性断裂力学基础.ppt

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1、第五章 线弹性断裂力学,强度 材料抵抗破坏的能力,断裂力学 研究材料内部存在裂纹情况下强度问题的科学。,研究带有裂纹的连续介质体中裂纹如何扩展，在什么条件下扩展，从中提炼出一些新的强度和韧度指标。为解决存在裂纹零部件的安全和寿命问题提供新的方法和依据。,第一节 引 言,一、断裂力学的基本概念,断裂力学和材料力学、弹塑性力学的相同点：都是宏观的强度理论，都研究材料的受力、变形和断裂。断裂力学和材料力学、弹塑性力学的不同点：材料力学、弹塑性力学的基本假设是材料均匀、连续；而断裂力学则假定材料内部存在着一条或几条裂纹。断裂力学就是裂纹体力学,裂纹是断裂力学从实际材料中存在的各种缺陷（如气孔、夹杂、疏

2、松、缩孔、白点、应力腐蚀引起的蚀坑、交变荷载下产生的疲劳源）中抽象出来的力学模型。断裂力学中定义的裂纹的最大特点是 裂纹尖端曲率半径，这种裂纹又叫“尖裂纹”。断裂力学假设存在于连续介质中的裂纹均为尖裂纹。,二、裂纹,断裂力学中处理的裂纹可分为二类：一类是贯穿裂纹（平面问题）；一类是表面裂纹和深埋裂纹（空间问题）。,三、裂纹的分类,无论哪一类裂纹，依据外加应力与裂纹面的取向关系，可以有三种变形方式：1）拉开裂纹这种变形叫张开型或I型，易于实验。2）滑开裂纹这种变形叫滑开型或II型，不易实验。3）撕开裂纹这种变形叫撕开型或III型，易于实验。对于开裂的一般情况可用三种型式的迭加来描述，这时称为复合

3、型裂纹。,I型是在正应力作用下裂纹张开而伸展，这是最危险的受力状态。II、III型由于实际裂纹面存在摩擦而降低了裂尖的应力强度，复合型裂纹也只在裂纹确实张开的条件下才有意义。断裂力学中重点研究I型裂纹。,裂纹在应力作用下会发生扩展，裂纹的扩展有慢速扩展和失稳扩展（快速扩展）。慢扩展不可怕，因为人们有时间观察它的变化。失稳扩展速度快，导致构件的突然断裂，危险很大，断裂力学讨论的就是失稳扩展的条件。,由于所研究的工程问题是确保在工作条件（静态，准静态）下，裂纹不扩展或随荷载增长而缓慢增长，但不发生快速扩展。因此，断裂力学着重研究静态（包括准静态）问题。,当外加应力在弹性范围内，而裂纹前端的塑性区很

4、小时，这种断裂问题可以用线性弹性力学处理，这种断裂力学叫线弹性断裂力学（LEFM）。适用于高强低韧金属材料的平面应变断裂和脆性材料如玻璃、陶瓷、岩石、冰等材料的断裂情况。,四、断裂力学的处理方法,对延性较大的金属材料，其裂纹前端的塑性区已大于LEFM能够处理的极限，这种断裂问题要用弹塑性力学处理，这种断裂力学叫弹塑性断裂力学(EPFM)。最后，有一类裂纹完全埋在广大的塑性区中，称为全面屈服断裂，目前只能用工程方法（实验曲线-经验公式）处理。,线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。研究裂纹扩展有两种观点：一种是能量平衡的观点，认为裂纹扩展的

5、动力是构件在裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表面所消耗的能量，如Griffith理论；一种是应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如Irwin理论。,第二节 线弹性断裂力学的基本理论,线弹性断裂力学的基本理论包括：Griffith理论，即能量释放率理论；Irwin理论，即应力强度因子理论。,1913年，Inglis研究了无限大板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问题，得到了弹性力学精确分析解，称之为Inglis解。1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。,一、

6、Griffith理论,Griffith研究了如图所示厚度为B的薄平板。上、下端受到均匀拉应力作用，将板拉长后，固定两端。由Inglis解得到由于裂纹存在而释放的弹性应变能为,另一方面，Griffith认为，裂纹扩展形成新的表面，需要吸收的能量为,其中：,为单位面积上的表面能。,可以得到如下表达式,临界状态,裂纹稳定,裂纹不稳定,对于平面应力问题，,，则,根据临界条件，有,或,得临界应力为,表示无限大平板在平面应力状态下，长为2a裂纹失稳扩展时，拉应力的临界值，称为剩余强度。,临界裂纹长度,对于平面应变有,二、Orowan与Irwin对Griffith理论的解释与发展,Orowan在1948年指

7、出，金属材料在裂纹的扩展过程中，其尖端附近局部区域发生塑性变形。因此，裂纹扩展时，金属材料释放的应变能，不仅用于形成裂纹表面所吸收的表面能，同时用于克服裂纹扩展所需要吸收的塑性变形能（也称为塑性功）。,Irwin在1948年引入记号,外力功,释放出的应变能,能量释放率,能量释放率也称为裂纹扩展能力,准则,临界值,由试验确定,Irwin的理论适用于金属材料的准脆性破坏破坏前裂纹尖端附近有相当范围的塑性变形。该理论的提出是线弹性断裂力学诞生的标志。,三、应力强度因子理论,裂纹尖端存在奇异性,即:,基于这种性质，1957年Irwin提出新的物理量应力强度因子K，即：,1960年Irwin用石墨做实验

8、，测定开始裂纹扩展时的,断裂判据(,准则),第三节 裂纹尖端附近的应力场和位移值,一、裂纹尖端附近的应力场、位移场,1、型裂纹,问题的描述：无限大板，有一长为 的穿透裂纹,在无限远处受双向拉应力 的作用。确定裂纹尖端附近的应力场和位移场。,Irwin应用Westergaurd的方法进行分析,(1)Westergaurd应力函数,弹性力学平面问题的求解，归结为要求求一个应力函数。该函数边界条件及双调和方程。,1939年，Westergaurd应力函数,其中：为解析函数;为一次积分和二次积分。,首先证明:,满足双调和方程,因为:,解析函数的性质:(1)解析函数的导数和积分仍为解析函数(2)解析函数

9、的实部和虚部均满足调和方程,柯西黎曼条件,有,即函数 是平面问题的应力函数.,则应力分量:,即,(平面应力),(平面应变),物理方程:,(平面应力),(平面应变),几何方程:,得,平面应力,平面应变,(2)求解双向拉伸型裂纹,边界条件:,选取型裂纹的 函数,验证:,a:,时,又,b:,采用新的坐标,令,-应力强度因子,平面应变,平面应力,平面应变,平面应力,2、型裂纹,平面应变,平面应力,平面应变,平面应力,3、撕开型(型),问题描述:无限大板,中心裂纹(穿透),无限远处受与 方向平行的 作用.,反平面(纵向剪切)问题,其位移,根据几何方程和物理方程:,单元体的平衡方程:,位移函数满足Lapl

10、ace方程，所以为调和函数.,解析函数性质：任意解析函数的实部和虚部都是解析的,边界条件:,选取函数,满足边界条件,取新坐标,令,假设裂纹闭合,当,时,当,时,二、应力强度因子与能量释放率的关系,在闭合时,应力在 那段所做的功为,平面应力,平面应变,同理,第四节 应力强度因子的计算,计算 值的几种方法,1、数学分析法：复变函数法、积分变换；2、近似计算法：边界配置法、有限元法；3、实验标定法：柔度标定法；4、实验应力分析法：光弹性法。,一、三种基本裂纹应力强度因子的计算,1、无限大板型裂纹应力强度因子的计算,计算 的基本公式,1）在“无限大”平板中具有长度为 的穿透板厚的裂纹表面上,距离 处各

11、作用一对集中力P,边界条件：,除去 处裂纹为自由 表面上,如切出 坐标系内的第一象限的薄平板，在 轴所在截面上内力总和为P,以新坐标表示:,选取复变解析函数：,2）在无限大平板中,具有长度为 的穿透板厚的裂纹表面上,在距离 的范围内受均布载荷q作用,利用叠加原理,集中力,令,当整个表面受均布载荷时,3）受二向均布拉力作用的无限大平板，在 轴上有一系列长度为，间距为 的裂纹,单个裂纹时,边界条件是周期的:,采用新坐标:,当 时，,取,-修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对 的影响,若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（）可不考虑相互作用,按单个裂纹计算。,2、无限大平板、型裂纹问题应力强度因子的计算

12、,1）型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):,2）无限大平板中的周期性的II型裂纹，且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切力作用,3）型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板),4）型周期性裂纹,1950年，格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力和应变，得到椭圆表面上任意点沿y方向的张开位移为,其中:,第二类椭圆积分,二、深埋裂纹的应力强度因子的计算,1962年，Irwin利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子,原裂纹面,假设：椭圆形裂纹扩展时,边缘上任一点 有,均在 的平面内,f 1,新的裂纹面仍为椭圆,长轴,短轴,原有裂纹面:,扩展后裂纹面:,以，代入,原有

13、裂纹面的边缘 向位移,=,设各边缘的法向平面为平面应变,有:,当 时，,在椭圆的短轴方向上，即，有,-椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子,当 时，,-圆片状深埋裂纹应力强度因子,三、半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算,1、表面浅裂纹的应力强度因子,欧文假设：半椭圆片状表面浅裂纹 与深埋椭圆裂纹的 之比等于边裂纹平板 与中心裂纹平板的 值之比,又有,裂纹长度,板宽度,当 时，,-椭圆片状表面裂纹A处的 值,2、表面深裂纹的应力强度因子,深裂纹：引入前后二个自由表面,使裂纹尖端的弹性约束减少,裂纹容易扩展,增大,弹性修正系数，由实验确定,一般情况下,前自由表面的修正系数,后自由表面的修正系数,巴里斯和薛

14、,时，,接近于单边切口试样,时，,接近于半圆形的表面裂纹,利用线性内插法,利用中心穿透裂纹弹性体的厚度校正系数,板厚,裂纹深度,浅裂纹不考后自由表面的影响,柯巴亚希.沙.莫斯,表面深裂纹的应力强度因子（应为最深点处）,四、确定应力强度因子的有限元法,不同裂纹体在不同的开裂方式下的应力强度因子是不同的。一些实验方法和解析方法都有各自的局限性，而有限元等数值解法十分有效地求解弹塑性体的应力和位移场，而应力和位移场与K密切相关，所以，可以通过有限元方法进行应力强度因子的计算。,1、位移法求应力强度因子,型:,有限元法,裂纹尖端位移,2、应力法求应力强度因子,型:,有限元法,利用刚度法求应力时，应力场

15、比位移场的精度低(因应力是位移对坐标的偏导数)。,五、叠加原理及其应用,1、的叠加原理及其应用,线弹性叠加原理：当n个载荷同时作用于某一弹性体上时，载荷组在某一点上引起的应力和位移等于单个载荷在该点引起的应力和位移分量之总和。,叠加原理适用于,证明:,由叠加原理有,实例：铆钉孔边双耳裂纹,叠加原理:,其中:,圆孔直径,板有宽度:,-板宽的修正,(a)(b)(c)(d),有效裂纹长度,确定:无限板宽中心贯穿裂纹受集中力 作用,有限板宽:,2、应力场叠加原理及其应用,:无裂纹时外边界约束在裂纹所处位置产生的内应力场,应力场叠加原理：在复杂的外界约束作用下,裂纹前端的应力强度因子等于没有外界约束，但

16、在裂纹表面上反向作用着无裂纹时外界约束在裂纹处产生的内应力 所致的应力强度因子。,小范围屈服：屈服区较小时(远远小于裂纹尺寸),线弹性断裂力学仍可用,一、塑性区的形状和大小,1、屈服条件的一般形式,屈服条件：材料超过弹性阶段而进入塑性阶段的条件,单向拉压:,薄壁圆筒扭转:,复杂情况:,第五节 塑性区及其修正,2、根据屈服条件确定塑性区形状大小,利用米塞斯(von Mises)屈服条件,当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形状改变能密度时，材料发生屈服，即,对于型裂纹的应力公式,平面应力,-平面应力下,型裂纹前端屈服区域的边界方程,当 时,平面应变,-平面应变下,型裂纹前端屈服区

17、的边界方程,当 时,3、应力松弛的影响,由于塑性变形引起应力松弛,应力松弛,依据：单位厚含裂纹平板,在外力作用下发生局部屈服后,其净截面的内力应当与外界平衡.,塑性区尺寸增大,(图中虚线所示),此曲线下的面积为,=外力,理想塑性材料,应力松弛后:,=外力,屈服区内的最大应力称为有效屈服应力,又BD与CE下的面积应相等,(平面应力),在平面应力条件下,考虑应力松弛,轴的屈服区扩大1倍.,R,平面应变条件下:,注意：上述分析没有考虑材料强化的影响。材料强化，裂纹尖端塑性区的尺寸变小，对于设计是偏于安全的。,二、有效裂纹尺寸,基本原理:设想裂纹的计算边界由 向右移到()以便使弹性区域内按线弹性理论所

18、获得的应力 和实际应力曲线 基本符合。,有效裂纹尺寸,根据上述基本原理有：,平面应力：,平面应变：,裂纹的计算边界正好在塑性区的中心,三、应力强度因子的计算,1、KI表达式简单的可用解析式,1）无限宽板中心穿透裂纹,线弹性:,小范围屈服:,平面应力:,平面应变:,-增大因子 塑性区修正因子,3）表面线裂纹,形状因子,形状因子,4）表面深裂纹,很小,令,=0.212,第六节 裂纹的断裂准则,裂纹的断裂准则:带裂纹的构件发生断裂的临界条件.,一、单一型裂纹的断裂准则,1、阻力曲线法,以平面应力为例说明,1）裂纹扩展的推动力,与试件的类型有关,平面应力的R曲线,2）裂纹扩展阻力,裂纹扩展单位长度所需要消耗的能量.,测定,计算,阻力曲线,3）临界条件,只有D点是失稳的扩展条件,平面应力的R曲线,2、能量判据,3、应力强度因子判据,