正、余弦定理及应用举例.ppt

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1、正、余弦定理及应用举例,正弦定理(1)定理：=其中R为三角形外接圆的半径(2)变式：a，b，c；sin A，sin B，sin C；abc.,2RsinA,2RsinB,2RsinC,sinAsinBsinC,1,提示：已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求其他的角和边时，要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解，两解，无解三种情况,2余弦定理(1)定理：a2；b2；c2；(2)变式：cos A；cos B；cos C.,b2c22bccosA,a2c22accosB,a2b22abcosC,提示：在ABC中，已知a，b，A，求c时，利用余弦定理a2b2c22bccos A得到关

2、于c的二次方程，但也应注意三角形解的个数的判断,3三角形面积公式,(1)S(ha表示a边上的高)；(2)S absin C；(3)S r(abc)(r为内切圆半径),实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 叫仰角；目标视线在水平视线 叫俯角(如图),上方,下方,4,(2)方位角指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图),正北,(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数提示：在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归结到三角形中解决,1ABC的

3、内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c，b，B120，则a等于(),解析：由正弦定理得,又C为锐角，则C30，A30，ABC为等腰三角形，ac.答案：D,2(2009广东卷)已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若ac，且A75，则b(),解析：ac，A75，B30，b2a2c22accos 30,b2.答案：A,3已知锐角ABC的面积为3，BC4，CA3，则角C的大小为()A75 B60 C45 D30,答案：B,4在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是 30、60，则塔高为_m.,在ACD中，由余弦定理得，,解析：如图，由已知可得BAC=30，CAD=30

4、，BCA=60，ACD=30，ADC=120，,判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：,(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论,在 中，分别表示三个内角 的对边，如果，判断三角形的

5、形状思维点拨：利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系,【例1】,解：解法一：已知等式可化为a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)2a2cos Asin B2b2cos Bsin A由正弦定理可知上式可化为：sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin Asin Asin B(sin Acos Asin Bcos B)0sin 2Asin 2B，由02A,2B2，得2A2B或2A2B，即AB或A B，ABC为等腰或直角三角形,解法二：同解法一可得2a2cos Asin B2b2sin Acos B，由正、余弦定理，可得,a2(b2c2a

6、2)b2(a2c2b2)即(a2b2)(a2b2c2)0ab或a2b2c2，ABC为等腰或直角三角形.,三角形一般由三个条件确定，比如已知三边a，b，c，或两边a，b及夹角C，可以将a，b，c或a，b，C作为解三角形的基本要素，根据已知条件，通过正弦定理、余弦定理、面积公式等利用解方程组等手段进行求解，必要时可考虑作辅助线，将所给条件置于同一三角形中,(1)求ABC的面积；(2)若c1，求a的值,形面积公式求解即可；(2)根据第(1)问求出的bc，结合bc就可以求出b，c的值，根据余弦定理求解,解：(1)因为,得bccos A3，所以bc5.,因此SABC bcsin A2.,(2)由(1)知

7、，bc5.又c1，所以b5，由余弦定理，得a2b2c22bccos A20，所以a2.,已知ABC顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)(1)若c5，求sin A的值；(2)若A为钝角，求c的取值范围解：(1)解法一：A(3,4)，B(0,0)，|AB|5.又C(c,0)，sin B.当c5时，|BC|5，,由正弦定理得,变式2：,解法二：A(3,4)，B(0,0)，|AB|5.当c5时，|BC|5.,由余弦定理得,(2)A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，|AC|2(c3)242，|BC|2c2.,A为钝角，cos A.,三角函数作为联系代数与几何问题的纽带和桥梁，往

8、往出现在综合题中解三角形就是这样一种常见而又典型的问题，在三角形的三角变换中，正、余弦定理是解题的基础,【例3】ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C，sin(BA)cos C.(1)求A，C；(2)若SABC3，求a，c.,思维点拨：(1)变换tan C，寻找A，B，C的三角函数之间的关系；(2)在解决了第(1)问的情况下，则相当于知道了三角形的三个内角，根据三角形面积公式和正弦定理就可以得到一个关于a，c的方程组，解这个方程组即可,解：(1)因为tan C,所以sin Ccos Asin Ccos Bcos Csin Acos Csin B，即sin Ccos Acos

9、Csin Acos Csin Bsin Ccos B，得sin(CA)sin(BC)所以CABC，或CA(BC)(不成立)，即2CAB，,又因为sin(BA)cos C，,由正弦定理，得,由、得,变式3：(2009山东卷)已知函数f(x)2sin xcos2 cos xsin sin x(0)在x处取最小值(1)求的值；(2)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边已知a1，b，f(A)，求角C.,解：(1)f(x)2sin x cos xsin sin xsin xsin xcos cos xsin sin xsin xcos cos xsin sin(x)因为f(x)在x处取最小值，

10、所以sin()1，故sin 1.又0，所以.,(2)由(1)知,因为,且A为ABC的内角，所以,由正弦定理得,解斜三角形有着广泛的应用，如测量、航海、几何、物理诸方面都要用到解斜三角形的知识，解此类问题一般步骤是：(1)阅读理解，画出示意图，分清已知和所求，尤其要理解应用题中有关名词和术语，如坡度、仰角、俯角、象限角、方位角等；(2)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形；(3)解这些三角形，求出答案,(2009辽宁卷)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60

11、，AC0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449),【例4】,解：在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1.又BCD180606060，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BDBA.,故B，D的距离约为0.33 km.,【方法规律】,1正、余弦定理和三角形面积公式是本讲课的重点，能利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题2应熟练掌握和运用内角和定理：ABC，,中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数3

12、正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2Asin2Bsin2C2sin Bsin Ccos A，可以进行化简或证明4根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.,【高考真题】,(2009安徽)在ABC中，sin(CA)1，sin B.(1)求sin A的值；(2)设AC，求ABC的面积,【规范解答】,解：(1)由sin(CA)1，CA，知,又ABC，所以2AB，,故cos 2Asin B，,本题的关键是关系式2AB，命题者把这个关系用sin(CA)1表达出来，然后在条件sin B 下求解sin A(

13、实际上也可给出sin A或cos A的值求解sin B、cos B等)，重在考查方程思想在解题中的应用,【探究与研究】,确定三角形的条件之一就是知道三角形的两个内角的大小(实际上就是知道了三个内角的大小)及一个边长，在解题中要善于利用确定三角形的条件分析解决问题，如本题中由第(1)问的结果，实际上就是知道了该三角形的三个内角的大小，第(2)问中又给出了一个边长，根据正弦定理可以求出另外两边的长，这样使用三角形的面积公式S absin C bcsin A acsin B中的任何一个都可以解决问题,三角形中的三角恒等变换的关键是三角形内角和定理，离开了三角形内角和定理就无法解决三角形中的三角恒等变

14、换，在解题时要充分考虑到这点，如在必要时用sin(AB)代换sin C，用,【发散思维】,本题给出的条件可以归结为sin(CA)1，sin(CA)，按照正弦的和、差角公式展开后就是sin Ccos Acos Csin A1，sin Ccos Acos Csin A，两个式子相加，得sin Ccos,再把交换后的两个式子相除，得,即tan C2tan A又在ABC中，,可以计算出,故有2tan A,解这个方程可以求出tan A值，也就可以求出sin A的值这里的解法看似复杂，实际上这是解决这类问题的一般方法，本题中的条件sin(CA)1具有特殊性，如果这个条件改成sin(CA)之类的，本题给出的解答中的方法就失去了一般性,