材料力学课件-12-a弯曲的几个补充问题.ppt

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1、Additional remarks for bending,第十二章 弯曲的几个补充问题,2023/10/29,材料力学课件,121 非对称弯曲(Unsymmetrical bending）122 开口薄壁杆件的切应力 弯曲中心(Shear stress of open thin-wall members.Flexural center),第十二章 弯曲的几个补充问题(Additional remarks for bending）,2023/10/29,材料力学课件,12-1 非对称弯曲(Unsymmetrical bending),一、非对称弯曲(Unsymmetrical bending

2、),横向力虽然通过截面的弯曲中心，但与形心主惯性平面存在一定夹角。在这种情况下，梁弯曲后的轴线不在力的作用平面内，这种弯曲变形称为斜弯曲.,2023/10/29,材料力学课件,二、斜弯曲的分析方法(Analysis method for unsymmetrical bending),2.叠加(Superposition)对两个平面弯曲进行研究，然后将计算结果叠加起来,Fz,Fy,y,z,F,j,B,A,1.分解(Resolution)将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲,2023/10/29,材料力学课件,梁在垂直纵向对称面 xy 面内发生平面弯曲。z轴为中性轴,梁的轴

3、线,2023/10/29,材料力学课件,梁的轴线,水平纵向对称面,梁在水平纵向对称面 xz 平面内弯曲，y 轴为中性轴。,2023/10/29,材料力学课件,三、梁内任意横截面上的内力分析(Analysis of internal force on any cross section),B,A,x,My=Fz x=Fxsin(使梁在xz平面内弯曲，y为中性轴),Mz=Fy x=Fxcos(使梁在 xy 平面内弯曲，z 为中性轴),m,m,2023/10/29,材料力学课件,四、横截面上的应力分析（Stress analysis of cross sections),1.与 My 相应的正应力为

4、(The bending normal stress corresponding to My),2.与 Mz 相应的正应力为(The bending normal stress corresponding to Mz),C 点处的正应力(The normal stress at point C),2023/10/29,材料力学课件,五、横截面上中性轴的位置(Location of neutral axis on cross section),中性轴上的正应力为零,假设点 e(z0,y0)为中性轴上任意一点,Mz,O,e(z0,y0),中性轴方程为,中性轴是一条通过横截面形心的直线(the ne

5、utral axis is a line which cross the centroid of an area),My,2023/10/29,材料力学课件,中性轴的位置由它与 y 轴的夹角 确定,公式中角度 是横截面上合成弯矩 M 的矢量与 y 轴的夹角。,横截面上合成弯矩 M 为,y0,2023/10/29,材料力学课件,y,z,O,公式中角度y 是横截面上合成弯矩 M 的矢量与 y 轴的夹角.,中性轴,Mz,My,2023/10/29,材料力学课件,讨 论：,（1）一般情况下，截面的 IzIy,故中性轴与合成弯矩 M 所在平面不垂直，此为斜弯曲的受力特征。所以挠曲线与外力（合成弯矩）所在

6、面不共面,此为斜弯曲的变形特征。,2023/10/29,材料力学课件,（2）对于圆形、正方形等 Iy=Iz 的截面，有=y，梁发生平面弯曲(plane bending)，正应力可用合成弯矩 M 按正应力计算公式计算。梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线，故梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。,2023/10/29,材料力学课件,六、最大正应力分析（Analysis of maximum normal stress),作平行于中性轴的两直线分别与横截面周边相切于 D1、D2两点，D1、D2 两点分别为横截面上最大拉应力点和最大压应力点。,O,2023/10/29

7、,材料力学课件,D1,D2,对于矩形、工字形等有两个相互垂直的对称轴的截面，梁横截面的最大正应力发生在截面的棱角处。可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉、压应力点的位置，无需定出中性轴。,D2,D1,O,2023/10/29,材料力学课件,七、强度条件(Strength condition),斜弯曲的危险点处于单向应力状态，所以强度条件为,2023/10/29,材料力学课件,八、斜弯曲的挠度(Deflection of unsymmetrical bending),分别求出 Fy 引起的挠度 wy 和 Fz 引起的挠度 wz,方法：叠加原理,总挠度为 w,总挠度与轴的夹角为y,2023/1

8、0/29,材料力学课件,x,A B C,z,y,F2=2kN,F1=1kN,0.5m 0.5m,40,80,z,y,O,a d,b c,例题1 矩形截面的悬臂梁承受荷载如图所示.试确定危险截面上危险点所在的位置，计算梁内最大正应力的值.,2023/10/29,材料力学课件,解:（1）外力分析,梁在 F2 的作用下将在 xOz 平面内发生平面弯曲(y 为中性轴）,故此梁的变形为两个相互垂直平面弯曲的组合-斜弯曲,梁在 F1的作用下将在xOy平面内发生平面弯曲（z为中性轴）,x,A B C,z,y,F2=2kN,F1=1kN,0.5m 0.5m,2023/10/29,材料力学课件,（2）绘制弯矩图

9、,绘出 Mz(x)图,绘出 My(x)图,A截面为梁的危险截面,Mz=1 kNm,My=1 kNm,x,A B C,z,y,F2=2kN,F1=1kN,0.5m 0.5m,Mz使A截面上部受拉，下部受压,My使A截面前部受拉，后部受压,2023/10/29,材料力学课件,（3）应力分析,D1 是最大拉应力点,D2 是最大压应力点,两点正应力的绝对值相等,拉,压,拉,压,2023/10/29,材料力学课件,拉,压,拉,压,2023/10/29,材料力学课件,（4）中性轴的位置,2023/10/29,材料力学课件,（5）绘制总应力分布图,+,-,D1=7.02,D2=-7.02,拉,压,2023/

10、10/29,材料力学课件,例题2 20a号工字形悬臂梁受集度为 q 的均布荷载和集中力F=qa/2 作用,力F 作用在 yOz 平面内.已知钢的许用应力=160MPa，a=1m。试求此梁的许可荷载集度 q.,2023/10/29,材料力学课件,解：将力F向 y 轴和 z 轴分解,Fy 与均布荷载 q使梁在 xy平面内产生弯曲(z为中性轴),Fz 使梁在 xz平面内产生弯曲(y为中性轴),z,2023/10/29,材料力学课件,xz面,xy面,D,D,0.617a,b,c,d,a,0.456qa2,0.266qa2,0.383qa2,Mz图,（1）画弯矩图,A、D 两截面可能是危险截面,MzA=

11、0.266qa2,MzD=0.456qa2,MyA=0.642qa2,MyD=0.444qa2,A 截面,D 截面,2023/10/29,材料力学课件,（2）计算应力,查工字钢表 20a 号,A 截面,D 截面,梁的危险点在 A 截面棱角处,2023/10/29,材料力学课件,122 开口薄壁杆件的切应力 弯曲中心(Shear stress of open thin-wall members.Flexural center),一、非对称截面梁平面弯曲的条件(Conditions of plane bending for unsymmetrical beams),前面讨论的平面弯曲,仅限于梁至少

12、有一个纵向对称面,外力均作用在该对称面内且垂直于轴线.对于非对称截面梁.横截面上有一对形心主惯性轴y,z,形心主惯性轴y,z与轴线x组成两个形心主惯性平面xOy,xOz,2023/10/29,材料力学课件,1.实体梁（Body beams),当横向外力作用在形心主惯性平面的平面内,梁发生平面弯曲.否则将会伴随着扭转变形.但由于实体构件抗扭刚度很大.扭转变形很小,其带来的影响可以忽略不计.,2.开口薄壁截面梁(Open thin-wall sections),对于开口薄壁截面梁,即使横向力作用于形心主惯性平面内(非对称平面),则梁除发生弯曲变形外,还将发生扭转变形.只有当横向力的作用线平行于形心

13、主惯性平面并通过某个特定点时,梁才只发生平面弯曲,而无扭转变形.这个特定点称为横截面的弯曲中心(Shear center or flexural center),用A表示.,2023/10/29,材料力学课件,3.弯曲中心的确定（Determination of the shear center),（1）弯曲中心(Shear center or flexural center),切应力合力的作用点就是截面弯曲中心(使杆不发生扭转的 横向力作用点).,（2）弯曲中心的位置(Location of the shear center),（b）具有一个对称轴的截面,其弯曲中心一定在这个 对称轴上.,（

14、c）若截面的中线是由若干相交于一点的直线段所组成，则此 交点就是截面的弯曲中心.,（a）具有两个对称轴或反对称轴的截面,其弯曲中心与形心重合.,2023/10/29,材料力学课件,例3 试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大致位置;若剪力FS的方向垂直向下,试画出切应力流的方向.,2023/10/29,材料力学课件,例题4 一槽钢制成的梁受方向平行于其腹板的横向荷载作用.钢槽截面简化后的尺寸见图.,（2）确定横截面上剪力作用线的位置,（1）分析横截面上腹板,翼缘两部分切应力t和t1的变化规律,2023/10/29,材料力学课件,腹板上切应力沿高度按二次抛物线规律变化.,2023/10/29,材料力学

15、课件,（2）横截面翼缘上的切应力,沿翼缘厚度用纵向截面AC截出一体积元素 C-m,在C-m的两个截面D-m,C-n上 分别有由法向内力元素,在C-m的两个截面D-m,C-n上分别有由法向内力元素组成的拉力FN1*,FN11*.,2023/10/29,材料力学课件,由于翼缘很薄,故可认为1,11,沿翼缘厚度保持不变,且其值与翼缘中线上的正应力相同.,2023/10/29,材料力学课件,所以在AC截面上一定存在着切向内力元素dFS，因为翼缘横截面也是狭长矩形,故可采用切应力沿壁厚不变及其方向平行于翼缘长度的假设.,由于,根据剪应力互等定理,横截面上的切应力和 AC上的切应力如图所示.,平衡方程 F

16、x=0,经过整理,即得,2023/10/29,材料力学课件,由切应力互等定理可知,得横截面上的切应力,式中,FS 为横截面上的剪力,Iz 为整个横截面对其中性轴的惯性矩,h 为截面两翼缘中线间的距离,为从翼缘外端到要求切应力点之间 的长度,2023/10/29,材料力学课件,1沿翼缘长度按线性规律变化.,翼缘上的最大剪应力发生在横截面上翼缘与腹板的中线相接处.,切应力的指向如图所示,2023/10/29,材料力学课件,（3）确定横截面上剪力作用线的位置,腹板上切向内力元素dA的合力FR,式中,A*为横截面腹板部分的面积,FR 为腹板上的切向内力元素组成的合力,dA=ddy为横截面腹板部分的面积元素,2023/10/29,材料力学课件,横截面翼缘部分切向内力元素1dA所组成的合力FH,m,上式的积分运算结果与式中的Iz的算式接近,2023/10/29,材料力学课件,由力系合成原理可知,上述合力的大小和方向均与FR相同,但作用线应与FR相隔一个距离az.,m,m,横截面上的剪力为一个FR和两个FH.它们的合力的作用线位置,就是梁横截面上剪力的作用线位置.,A点称为剪切中心或弯曲中心,第十二章结束,