期权定价的二叉树模型.ppt

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1、1,第五章（下）：期权定价的二叉树模型,第一节股票价格模型第二节用二叉树模型进行看涨期权定价第三节美式期权定价第四节敲出期权定价第五节回望期权定价第六节实证数据下二叉树模型分析第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险,2023/10/29,2,假设股票的价格在单位时间内只能够沿着两个方向变动。图4-1和图4-2采用二叉树的形式列出了可能变动的两个方向，将来的价格等于现值与相应收益率的乘积。,第一节股票价格模型,2023/10/29,3,第一节股票价格模型,2023/10/29,4,第一节股票价格模型,2023/10/29,一、二叉树的重新安排,2023/10/29,6,第一节股票价格模型,（4-1

2、）,2023/10/29,7,第一节股票价格模型,2023/10/29,8,二、连锁法和期望值连锁法（后向推导）,第一节股票价格模型,2023/10/29,9,第一节股票价格模型,2023/10/29,10,第一节股票价格模型,若x是股票未来价格a和b的期望值，则,连锁法：,2023/10/29,11,第一节股票价格模型,2023/10/29,13,第一节股票价格模型,如何证明？,如何证明？,将节点输入值中的股票价格因子分离出来，则,2023/10/29,14,第一节股票价格模型,简要提示：归纳法路径依赖,2023/10/29,15,若期权到期时间为，试对期权进行定价。,第二节用二叉树模型进行

3、看涨期权定价,2023/10/29,16,首先构造一个三期的股票价格二叉树模型，如图4-8所示。,第二节用二叉树模型进行看涨期权定价,2023/10/29,17,三期的期权价格二叉树模型,第二节用二叉树模型进行看涨期权定价,2023/10/29,18,第二节用二叉树模型进行看涨期权定价,由无套利定价原则得,（4-2）,2023/10/29,19,第二节用二叉树模型进行看涨期权定价,2023/10/29,21,美式看跌期权，若：期权到期时间为。,第三节美式期权定价,2023/10/29,22,第三节美式期权定价,2023/10/29,23,第三节美式期权定价,2023/10/29,24,如图4-

4、14所示的分枝图，在节点处有两个选择：（1）立即执行（在）；（2）继续持有到下一期 再执行。策略：计算每一种方案的价值，再选择最大的。,第三节美式期权定价,2023/10/29,25,第三节美式期权定价,2023/10/29,26,第三节美式期权定价,2023/10/29,27,第三节美式期权定价,2023/10/29,29,第四节敲出期权的定价,障碍期权(barrier option)一般分为两类，即敲出期权和敲入期权。敲出期权：当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权作废。敲入期权：当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权才有效。,2023/10/29,30,欧式看涨期权：期权到期

5、时间为。根据题意：考察的期权是一个欧式看涨期权，在3年后到期、执行价是105美元。若是敲出期权，在价格为95美元处设置了一个障碍，即一旦股票价格低于95美元，无论其到期的价格是多少，该期权都不再有任何价值。,第四节敲出期权的定价,2023/10/29,31,画出股票、期权二叉树图标明障碍线,第四节敲出期权的定价,如何为敲出期权定价？,第一步,2023/10/29,32,第四节敲出期权的定价,2023/10/29,33,第四节敲出期权的定价,2023/10/29,34,第二步：连锁法计算期权价值障碍法则 同样的操作：运用连锁法则和贴现的方法计算出期权的价格。不同的操作：对于障碍(虚线)下方的节点

6、输入值为0。,第四节敲出期权的定价,2023/10/29,36,作为验证：,第四节敲出期权的定价,2023/10/29,37,注意：对K期期权定价而言，有2K条路径，当K较小时，路径计算法在期数和路径较少的情况下是简单易行的，但当K较大时，计算却十分困难，因为将生效的期权从失效的期权中分离出来是很困难的。敲出障碍期权比标准欧式期权要便宜，当障碍的设置越接近于正常价格时，障碍期权越不可能克服日常价格波动，障碍期权较之普通期权的价格越便宜。,第四节敲出期权的定价,2023/10/29,38,回望期权：,第五节回望期权定价,回望期权(lookback options)的收益依附于期权有效期内标的资产

7、达到的最大或最小价格。欧式回望看涨期权的收益等于最后标的资产价格超过期权有效期内标的资产达到的最低价格的那个量。欧式回望看跌期权的收益等于期权有效期内标的资产价格达到的最高价格超过最后标的资产价格的那个量。,2023/10/29,39,若有一个三个月到期的回望期权，在三个月后，期权的买方有权得到以过去三个月中最高股价来计算的偿付。所谓回望的含义就体现在这里。应注意，为了确定期权的到期价格，需要知道的不仅仅是股票的最终价格，还需要知道股票过去每个时间点的价格(除了一些极端的情况)。,第五节回望期权定价,2023/10/29,40,例：以一个月为一个时间段，得三个月的股价树，见图4-21。,第五节

8、回望期权定价,2023/10/29,41,第五节回望期权定价,2023/10/29,42,表3-1路径、概率及最高价,2023/10/29,43,第五节回望期权定价,2023/10/29,44,金融（或其他领域）中用的数学模型是为了帮助在分析现在的基础上预测未来。如果模型是成功的，那么模型就应该与实际相符。如何确定、和？希望通过股价行为中的重要因素来估计上面这些参数漂移率、波动率,第六节实证数据下二叉树模型分析,2023/10/29,45,第六节实证数据下二叉树模型分析,2023/10/29,46,漂移率：单位时间内股价的平均变化幅度。波动率：相对回报率的不确定性。,第六节实证数据下二叉树模型

9、分析,2023/10/29,47,第六节实证数据下二叉树模型分析,平均相对回报率：,平均股价比率：,2023/10/29,48,如果随机变量服从伯努利分布，则,第六节实证数据下二叉树模型分析,将此应用于图4-22的股价二叉树，得,2023/10/29,49,第六节实证数据下二叉树模型分析,2023/10/29,50,Hull-White算法：令：则：,第六节实证数据下二叉树模型分析,2023/10/29,51,第六节实证数据下二叉树模型分析,用样本估计值来代替,2023/10/29,52,用样本均值、样本方差分别代替总体均值和方差。若：对于独立的股价伯努利分布的随机变量,第六节实证数据下二叉树

10、模型分析,2023/10/29,53,第六节实证数据下二叉树模型分析,2023/10/29,54,第六节实证数据下二叉树模型分析,2023/10/29,55,第六节实证数据下二叉树模型分析,于是得到,2023/10/29,56,第六节实证数据下二叉树模型分析,算例：,1.计算相关参数2.画出二叉树图3.计算期权价格,2023/10/29,57,第六节实证数据下二叉树模型分析,习题：以下为包钢股份2006年4月4日至4月14日股价，试计算相关参数。,2023/10/29,58,以N期股价二叉树为基础的期权价格，可以由期权在期末的价值完全决定。如果期权的价格与由二叉树算法得到的价格不一样，则将存在

11、无风险套利机会。即，二叉树算法得出的结果是符合无套利原则的惟一价格，从这个角度来说，二叉树算法的价格反映了市场的真实状况。,第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险,2023/10/29,59,验证单期二叉树德尔塔对冲效果：卖出一个看涨期权，或衍生产品，同时买入 股股票，且 则最初投资为，为看涨期权的价格,第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险,为进行投资或借入的无风险利率。,2023/10/29,60,股价上升：股价下跌：由于,第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险,2023/10/29,61,第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险,由此可见，风险已完全对冲了。在这种情况下，交易商的无风险收益是收取少

12、量的佣金。,2023/10/29,62,为确定对冲组合，应采取的步骤：画出股价二叉树。用连锁法则计算衍生品价格树。从时刻起，确定对冲的股票，对冲股票数量的计算公式化。在时刻以及接下来的各期，应当用步骤重新计算所需的对冲股票数量。,第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险,2023/10/29,63,说明：可以对冲N期二叉树模型并不意味着可以对冲任意的衍生产品（比如说连续情形下）。即使二叉树模型通过选取足够大的n值，以对股价进行合理的拟合，但股价运行中固有的属性，决定了不可能做出无误差的对冲调整。,第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险,2023/10/29,64,第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险

13、,例：股价及衍生产品价格二叉树见图4-25 r=0.04879,即er=1.05。,2023/10/29,65,第一步：采用连锁法则，完成衍生产品的价格树,第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险,2023/10/29,66,第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险,2023/10/29,67,第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险,第二步：对冲,2023/10/29,68,第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险,在t=0时刻,在t=0时刻，卖掉单位衍生品，买入0.3322754股票,策略：,2023/10/29,69,第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险,在t=0时刻，全部资产状况：拥有股票 欠银行负债

14、 0.3322754 23.21998,2023/10/29,70,第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险,在t=1时刻，若股价为120美元,策略：,卖掉股票：0.3322756-0.266666=0.06561减少债务：0.06561120=7.8732,2023/10/29,71,在t=1时刻，全部资产状况：拥有股票 欠银行负债(16.507779),第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险,2023/10/29,72,在t=2时刻，若股价为110，则：资产负债拥有股票衍生产品12欠银行负债0.266666110 16.5077791.05在t=2时刻 资产负债29.33,第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险,2023/10/29,73,请借助T形帐户，阐述当股价为其他状态时的风险对冲过程。,课后习题,深入理解实证数据下，参数估计过程。,