曲线积分与曲面积分第二节对坐标的曲线积分.ppt

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1、-1-,第二节 对坐标的曲线积分,对坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的性质对坐标的曲线积分的计算法两类曲线积分的关系,-2-,一 对坐标的曲线积分的概念,1实例:变力沿曲线所作的功,常力所作的功,分割,方法：大化小，常代变，近似和，求极限。,-3-,近似和,取极限,近似值,精确值,常代变,-4-,2.定义.,设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑,弧段,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线.,称为被积函数,在L 上定义了一个有界向量函数,极限,-5

2、-,若 为空间曲线弧,记,称为对 x 的曲线积分;,称为对 y 的曲线积分.,若记,对坐标的曲线积分也可写作,类似地,（称其为有向弧元素）,-6-,二 对坐标的曲线积分的性质,(1),-7-,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,-8-,三 对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方程为,则曲线积分,连续,证明:下面先证,存在,且有,-9-,对应参数,设分点,根据定义,由于,因为L 为光滑弧,同理可证,-10-,特别是,如果 L 的方程为,则,对空间光滑曲线弧:,类似有,-11-,例1.计算,其中L 为沿抛物线,解法1 取 x 为参数,则,解法2 取 y 为参

3、数,则,从点,的一段.,-12-,例2.计算,其中 L 为,(1)半径为 a 圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向;,(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).,解:(1)取L的参数方程为,(2)取 L 的方程为,则,则,-13-,例3.计算,其中L为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折线,解:(1)原式,(2)原式,(3)原式,-14-,例4.设在力场,作用下,质点由,沿移动到,解:(1),(2)的参数方程为,试求力场对质点所作的功.,其中为,-15-,例5 计算曲线积分,其中,相应于,的一段，依,解,增长的,方向。,-16-,例6.求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方

4、向.,解:取 的参数方程,-17-,四 两类曲线积分之间的联系,在曲线积分,中,因此,其中,为弧微分，,记,为以,同向的单位向量，,则,另一方面，,设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方,程为,则L切向量为,-18-,因此,是这样一个有向曲线L的正向切向的单位向量，,记,则,为L的正向切向,方向余弦，,所以,即有两类曲线积分的关系：,-19-,同理对于空间曲线的两类曲线积分的关系：,其中,为空间曲线L的正向切向的方向,余弦。,如果记,上式又可表示为,为,在L的正向切向的投影）,-20-,二者夹角为,例7.设,曲线段 L 的长度为s,证明,续,证:,设,说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.,在L上连,-21-,例8.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中L 沿上半圆周,