曲线积分与曲面积分第一节对弧长的曲线积分.ppt

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1、-1-,第一节 对弧长的曲线积分,一 对弧长的曲线积分的概念与性质二 对弧长的曲线积分的计算与应用三 几何与物理意义,-2-,一 对弧长的曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在平面所,其线密度为,“大化小,常代变,近似和,求极限”,可得,为计算此构件的质量,1.引例:曲线形构件的质量,采用,-3-,设L 是平面中一条有限长的光滑曲线,义在 L上的一个有界函数,存在,L上对弧长的曲线积分,记作,若通过对 L的任意分割,局部的任意取点,2.定义,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,一类曲线积分.,称为被积函,L 称为积分弧段.,曲线形构件的质量,和对,或第,数，,称为弧元素,-4-

2、,存在条件：,性质,（1）设,为常数，则,（2）设,则,-5-,类似可以将定义推广到三元函数,在空间,曲线,上对弧长的曲线积分,-6-,二、对弧长曲线积分的计算与应用,定理:,且,上的连续函数,证:,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,根据定义,-7-,点,设各分点对应参数为,对应参数为,则,-8-,说明:,因此积分限必须满足,(2)注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,因此,-9-,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,推广:设空间曲线弧的参数方程为,则,-10-,例1.计算,其中 L 是抛物线,与点 B(1,1)之间的一段弧.,解:,上点 O(0,0),-11-,例2 设C 是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界,求,解,分段积分,-12-,例3,解,-13-,例4,解,例5,解,-14-,例6.计算,其中为球面,解:,化为参数方程,则,-15-,例7.计算,其中为球面,被平面 所截的圆周.,解:由对称性可知,-16-,三 几何与物理意义,-17-,-18-,例8.计算半径为 R,中心角为,的圆弧 L 对于它的对,称轴的转动惯量I(设线密度=1).,解:建立坐标系如图,则,