新基本不等式的证明.ppt

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1、基本不等式的证明,无锡辅仁高中 魏 民,问 题 情 境 1,对任意实数x、y，有 恒成立，即.,探究：1.分别用 代替上面不等式中的x、y，会得到什么式子？,2.对上述实数a、b，须有何限制条件？,3.上述不等关系中，何时取到“=”？,问 题 情 境 2,如图,AB为半圆的直径,C为圆周上一动点,H为垂足.设AH=a,HB=b,半弦CH不大于半径CO,把 称为a,b的算术平均数，,把 称为a,b的几何平均数.,探究：1试指出图中哪些线段的长度分别等于a,b的算术平均数 和几何平均数？,2能否比较出两者的大小关系？,（二）发现基本不等式,数：,形：半弦不大于半径,（三）构建基本不等式,如果，那么

2、（当且仅当a=b时取“=”）.,这个不等式称为基本不等式.,刚才，我们从数和形两个角度找到也证明了基本不等式.那么,这个基本不等式还有其他哪些证明方法呢?,（四）基本不等式的证明（比较法）,证明不等式本质上就是比较大小，那么比较大小最常用的方法是什么呢？,比较法，作差(或作商),（三）基本不等式的证明（比较法）,说明：比较法证明不等式的步骤：作差（或作商），变形：通分、因式分解、配方等，判断差式的符号，结论.,(当且仅当a=b时取“=”).,基本不等式的证明（分析法）,求证:,刚才在做差后的配方变形是不少同学没有想到的，确实有些不等式的证明用比较法还是很困难的例如,请看,基本不等式的证明（分析

3、法）,要证，,只要证，,只要证，,只要证，,因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立,只要证.,当且仅当a=b时取“=”.,基本不等式的证明（分析法）,要证,只要证,只要证,只要证.,因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立,当且仅当a=b时取“=”.,基本不等式的证明（分析法）,基本不等式的证明（分析法）,不过，有的同学觉得还是习惯于传统的从已知条件出发推导出要证的结论.,基本不等式的证明（综合法）,(当且仅当a=b时取“=”).,证明：,综合法：从已知或事实出发，根据不等式的性质推导出要证的不等式.,基本不等式的证明（综合法）,分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，易于发现思路.综合法的

4、优点是易于表述，条理清楚，形式简洁.证明不等式时常常用分析法寻找解题思路，再用综合法写出证明过程,（五）基本不等式的简单应用,如果，那么（当且仅当a=b时取“=”）.,这个不等式称为基本不等式.,基本不等式的变式：,（五）基本不等式的简单应用,例 证明下列不等式（1）(a0)；,思考1：第（1）题若将a0 改为a0，要证的不等式有何变化？如何证明？,（五）基本不等式的简单应用,结论：(a0)；,(a0).,（五）基本不等式的简单应用,例 证明下列不等式（2）(a1).,思考2：第（2）题若将 a 1改为a 1，求 的取值范围.,课 堂 小 结,在应用基本不等式时，要注意哪些问题?,不等式的证明有哪几种常用的方法呢？,基本不等式成立的条件是a0，b0，及当且仅当a=b时等号成立,比较法，分析法，综合法,课后作业,课题：多角度探究基本不等式,课后请大家按照教学案提供的材料从代数、几何、三角、向量等方面多角度探究基本不等式.,