平均数、中位数、众数、极差、方差标准差的概念讲解.ppt

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1、5数据的数字特征平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差,1.平均数、中位数、众数、极差,出现次数,大小顺序,中,间,中间两个数,原数据,平均数,计算公式,最大值,最大值,最小值,最小值,2.标准差与方差(1)方差的求法:标准差的平方s2叫做方差.s2=_,其中,xn是样本数据,n是样本容量,是样本平均数.(2)标准差的求法:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示.s=_.,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据.()(2)平均数、众数、中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.()(3)极差不受极端值的影响.(),【解析

2、】(1)错误.平均数不可能大于每一个数据.(2)正确.从平均数、众数与中位数的含义知正确.(3)错误.极差反映了一组数据变化的最大幅度,它受一组数据中的极端值的影响.答案:(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别是75,80,则这次考试该年级学生平均分数为_.(2)某射手在一次训练中射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7,则该射手成绩的方差是_.(3)一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13,x,17,19,21,24,其中中位数为16,则x=_.,【解析】(1)平均

3、分数=75+80=78.答案:78(2)=(9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5,所以s2=(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2+(9.7-9.5)2=0.016.答案:0.016(3)由题意知=16,即x=15.答案:15,【要点探究】知识点1 对平均数、中位数、众数、极差的理解极差、众数、中位数、平均数的比较(1)一组数据的平均数、中位数、极差都是唯一的，众数可能不唯一.,(2)求中位数时，应将数据按大小顺序排列，当数据个数是奇数时，中间的那个数据就是中位数；当数据个数是偶数时，居于中间两个数的平均数才是中位数.可见，中位数不一

4、定是这组数据中的数值.(3)众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数.一组数据的众数可以有多个.,(4)平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动；众数的大小只与这组数据的部分数据有关；中位数也只与少数的数据有关；极差只与这组数据的最大值和最小值有关.,【知识拓展】极差、众数、中位数、平均数的作用(1)极差的大小可以反映该组数据分散的程度；众数体现了样本数据的最大集中点，但它忽视了数据信息中的其他数据；中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受极端值的影响；平均数反映了一组数据的平均水平，易受极端值的影响.(2)实际问题中求得的众数、中位数

5、和平均数应带上单位.,【微思考】(1)在极差、众数、平均数、中位数中哪些是一定出现在已知数据的数？哪些不一定出现在已知数据中？提示:众数一定出现在已知数据中；极差、平均数、中位数不一定出现在已知数据中.,(2)在极差、众数、平均数、中位数中哪些反映了该组数据的集中趋势？哪些反映了数据的分散程度？提示:众数、平均数、中位数都反映了数据的集中趋势;极差反映了数据的分散程度.,【即时练】1.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()A91.5和91.5B91.5和92C91和91.5D92和92,2.对甲、乙二人的学习成绩进行抽样分析,各抽4门功课,得到

6、的观测值如下:问:甲、乙谁的平均成绩较好?,【解析】1.选A.中位数为(91+92)=91.5;平均数为(87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5.2.(65+82+80+85)=78,(75+65+70+90)=75,知识点2 对方差与标准差的理解标准差、方差的作用(1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小(2)标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动幅度和离散性,【微思考】(1)在解决实际问题时，一般采用方差还是标准差？提示:方差与原始数据的单位不同，且平方后可能放大了偏差

7、的程度，所以在实际问题中一般采用标准差.,(2)在计算标准差时，若各样本数据加上或减去一个常数，标准差的值会变化吗？提示:不变，因为平均值和每一个样本数据都加上或减去了同一个常数，所以(xi)2的值不变，所以标准差不变.,【即时练】1.样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为()2.已知一个样本为x,1，y,5，其中x，y是方程组的解，则这个样本的标准差是(),【解析】1.选D.由题可知样本的平均值为1，所以 1，解得a1，所以样本的方差为(11)2(01)2(11)2(21)2(31)22.2.选D.因为xy2，x2y210，所以(x1y5)(xy

8、)62，s2(x2)2(12)2(y2)2(52)2(x2y2)4(xy)18 205，所以,【题型示范】类型一 众数、中位数、平均数的计算及应用【典例1】(1)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设所得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则(),Amem0 Bmem0 Cmem0 Dm0me,(2)据报道,某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下:,求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数.假设副董事长的工资从5000元提升到20000元,董事长的工资从5500元提升到30000元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么

9、?(精确到元)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法.,【解题探究】1.题(1)图中最高的直条对应的得分是哪个数字特征?2.题(2)中3000位于表格中央,3000是不是中位数?【探究提示】1.是众数.最高的直条对应的频数是10,其得分为5分,5分是众数.2.3000不是中位数,应该将33个数从小到大排列,中间的数是中位数.中位数是1500.,【自主解答】(1)选D.由图可知,30名学生的得分情况依次为:2个人得3分,3个人得4分,10个人得5分,6个人得6分,3个人得7分,2个人得8分,2个人得9分,2个人得10分.中位数为第15,16个数(分别为5,6)的

10、平均数,即me=5.5,5出现的次数最多,故m0=5,于是得m0me.,(2)平均数是1 5005912 091(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元.平均数是1 5001 7883 288(元)中位数是1 500元，众数是1 500元,在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平,【方法技巧】1.众数的求法在样本数据中出现次数最多的数据即为众数.2.中位数的求法(1)把数据按从小到大的顺序排列.(2)找出排列后位于中间位置的数据，即为中位数.若中间位置有两

11、个数据，则求出这两个数据的平均数作为中位数.,3.平均数的计算公式一组样本数据为x1,x2，,xn，则样本平均数(x1+x2+xn).简记为,【变式训练】高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分(1)求这次测验全班平均分(精确到0.01).(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人.(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么,【解析】(1)利用平均数计算公式(82278021)81.13(分)(2)因为男同学的中位数是75，所以至少有14人得分不超过75分又因为女同

12、学的中位数是80，所以至少有11人得分不超过80分所以全班至少有25人成绩在80分以下(含80分),(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和得分低的相差较大.,【误区警示】刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数等，它们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信息，不同的统计量会侧重突出某一方面的信息.,【补偿训练】下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：请参照这个表解答下列问题:(1)用含x,y的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f.(2)若该班这次竞赛

13、的平均分为2.5分,求x,y的值.,【解题指南】第(2)问根据频数之和为40及平均数为2.5构造方程组求解.【解析】(1)f=(2)依题意,有,类型二 方差、标准差的计算及应用【典例2】(1)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差分别为_,标准差分别为_.,(2)甲、乙两支篮球队在联赛中,各进行10场比赛,得分如下:甲队:100,97,99,96,102,103,104,101,101,100.乙队:97,97,99,95,102,100,104,104,103,102.请计算甲、乙两队的方差与标准差,并判断哪

14、支球队发挥更为稳定?,【解题探究】1.题(1)中,求方差和标准差的关键是什么?2.题(2)中,方差(标准差)与数据的稳定程度的关系是什么?,【探究提示】1.求方差和标准差的关键是先求平均数,再求方差,最后由方差求得标准差.2.方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数,方差(标准差)越大,波动越大,稳定性越差;方差(标准差)越小,波动越小,稳定性越好.,【自主解答】答案：0.4，1.2,(2)(10097100)100.3，(9797102)100.3，则s甲2(100100.3)2(100100.3)25.61，s乙2(97100.3)2(102100.3)29.21，所以甲队的标准差

15、为s甲 2.37，乙队的标准差为s乙 3.03.由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此甲队在联赛中发挥更为稳定,【方法技巧】1.方差的计算方法(1)一组样本数据x1,x2,xn的样本方差的计算公式是,(2)用定义的公式计算方差的一般步骤：先求出样本平均数再计算一组差：xi-(i=1,2,n);计算中差的平方，得到一组新的数据：(x1-)2,(x2-)2，,(xn-)2;计算中这组新数据的平均数，即为所求的方差s2，即s2=,2.标准差的计算方法(1)一组样本数据x1,x2,xn的标准差的计算公式是(2)计算标准差的一般步骤：先求出样本方差；再求出样本方差的算术平方根，即得样本标准

16、差.,【变式训练】假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货天数甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10；乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商的交货时间短一些？哪个供货商的交货时间较具有一致性与可靠性？【解题指南】直接利用平均数、方差的公式计算，然后通过比较平均数、方差的大小得出结论,【解析】(10+9+10+10+11+11+9+11+10+10)=10.1(天),(10-10.1)2+(9-10.1)2+(10-10.1)2+(10-10.1)2+(11-10.1)2+(11-10.1)2+(9-10.1)2+(11

17、-10.1)2+(10-10.1)2+(10-10.1)2=0.49;(8+10+14+7+10+11+10+8+15+12)=10.5(天),(8-10.5)2+(10-10.5)2+(14-10.5)2+(7-10.5)2+(10-10.5)2+(11-10.5)2+(10-10.5)2+(8-10.5)2+(15-10.5)2+(12-10.5)2=6.05.从交货天数的平均数来看,甲供货商的供货天数短一些;从方差来看,甲供货商的交货天数较稳定,因此甲供货商的交货时间较具有一致性与可靠性.,【补偿训练】(2013辽宁高考)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把

18、每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_.,【解题指南】由样本方差得出五个数的平方和,再分析各数据.【解析】设5个班级参加的人数分别为x1,x2,x3,x4,x5,则有(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=4,即(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20,根据题意知,五个整数的平方和为20,则必有0+1+1+9+9=20.,由|x-7|=3,可得x=10或4,由|x-7|=1可得x=8或6,故参加的人数分别为4,6,7,8,10.故最大

19、值为10.答案:10,【拓展类型】统计图表与数字特征的综合应用【备选例题】样本数为9的四组数据,他们的平均数都是5,条形图如图所示,则标准差最大的一组是()A.第一组B.第二组C.第三组D.第四组,【解题指南】可以从频率条形图分别得到四组样本数据,计算出标准差.【解析】选D.第一组中,样本数据都为5,数据没有波动幅度,标准差为0;第二组中,样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6,标准差为 第三组中,样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7,标准差为 第四组中,样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8,标准差为 故标准差最大的一组是第四组.,【方法技巧】处理统计图表与数字的综合应用

20、问题的方法解决此类问题,一般有两种方法:(1)由图形得到对应的样本数据,计算出平均数、方差(标准差).(2)从图形直观分析样本数据的分布情况,大致判断平均数的范围,并利用数据的波动性大小反映方差(标准差)的大小.此点可称为方差(标准差)的几何意义.,【变式训练】(2012安徽高考)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则(),【解析】选C.甲:4,5,6,7,8,乙:5,5,5,6,9,(4+5+6+7+8)=6,(53+6+9)=6,甲的成绩的中位数为6,乙的成绩的中位数为5,甲的成绩的方差为(222+122)=2,乙的成绩的方差为(123+321)=2.4.甲

21、的成绩的极差为4,乙的成绩的极差为4.,【巧思妙解】用简便方法求平均数【典例】为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计,甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示,若甲乙两人的平均成绩分别是 则下列说法正确的是(),A.，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B.，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C.，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D.，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛,【教你审题】,【常规解法】选D.由茎叶图可知，甲的成绩分别为72,78,79,85,86,92，乙的成绩分别为78,86,88,88,91,93，又经计算得s甲2s乙2，所以乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛,【巧妙解法】又根据茎叶图中数据的分布情况判断乙比甲稳定.,【方法对比】求平均值常规法是将各个数字相加除以个数n,巧妙解法是将十位数字相加除以n乘以10，再加上个位数字的平均值.后者可以减小计算量.,【类题试解】已知10个数据89,97,86,99,79,70,101，119,120，88，则它们的平均值为_.,【常规解法】平均值答案：94.8【巧妙解法】平均值答案：94.8,