幂级数经典课件.ppt

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1、幂级数,主要内容：,函数项级数。幂级数及其收敛性。幂级数的运算。函数展开为幂级数。,一、函数项级数,在前面，,我们曾讨论过公比为q的无穷等比级数：,当|q|1时，级数是收敛的，,其和为，,因此我们也可以把q看作(-1，1)内变化的一个自变量，用x代替它，即可得到:,由于上式对区间(-1，1)内的每一个q值都成立，,它的每一项都是以x为自变量的函数。,则称点x0为函数项级数(8-3)的一个收敛点；,收敛点的全体构成的集合，,一般地，,由定义在同一区间内的函数序列构成的无穷级数：,u1(x)+u2(x)+un(x)+(8-3),称为函数项级数，,记为。,在函数项级数(8-3)中,若令x取定义域中某

2、一确定值x0，,则得到一个数项级数,u1(x0)+u2(x0)+un(x0)+,称为函数项级数的收敛域。,若该数项级数收敛，,反之，则称点x0为函数项级数(8-3)的发散点。,且称之为函数项级数的部分和函数，,若x0是收敛域内的一个值，,则必有一个和S(x0)与之对应，,即 S(x0)=u1(x0)+u2(x0)+un(x0)+,这个函数S(x)就称为函数项级数的和函数。,当x0在收敛域内变化时，,上述级数的和S(x0)也随之变化，,就得到一个定义在收敛域上的函数S(x)，,即 S(x)=u1(x)+u2(x)+un(x)+,那么在函数项级数的收敛域内有,将函数项级数的前n项和记为Sn(x)，

3、,即,Sn(x)=u1(x)+u2(x)+un(x),二、幂级数及其收敛性,和=a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+an(x-a)n+(8-5),一般地，,形如=a0+a1x+a2x2+anxn+(8-4),的级数称为幂级数。,其中an(n=0,1,2,)和a都是常数，,an称为幂级数的系数。,对于级数(8-5)，,只要令 x-a=t,就可化为(8-4)的形式,因此下面我们主要讨论级数(8-4)。,所以区间(-1,1)就是该幂级数的收敛域。,或者说幂级数(8-4)在点x0处收敛；,对于幂级数(8-4)，它的每一项在区间(-,+)内都有定义，,因此对于每个给定的实数值x0，将其代入(8-4)

4、式，,就得到一个数项级数:,如果(8-6)收敛，,则称点x0为幂级数(8-4)的收敛点，,如果(8-6)发散，,则称点x0为幂级数(8-4)的发散点，,或者说幂级数(8-4)在点x0处发散。,所有收敛点的集合称为幂级数的收敛域，,所有发散点的集合称为幂级数的发散域。,例如幂级数，,当x在区间(-1,1)内取任一个值x0时，,级数 都收敛，,其和为。,而(-,-1)及(1,+)就是该幂级数的发散域。,则称幂级数为不缺项，,设幂级数 中an0(n=0,1,2,)，,否则称为缺项幂级数。,在级数(8-4)中，设，,用比值判别法，得,则,(3)当=0，即|x|=0时，级数(8-4)对任何x值收敛。,(

5、1)当|x|1，即 时，级数(8-4)收敛；,(2)当|x|1，即 时，级数(8-4)发散；,因此，令，即，就得到下面定理:,在x=R处，可能收敛也可能发散(此时=1)，,而当|x|R时幂级数发散；,定理,则有：,(1)如果0R+,则当|x|R时幂级数收敛，,(2)如果R=+，,则幂级数在(-，+)内收敛；,(3)如果R=0，,则幂级数仅在x=0处收敛。,由定理知：,设幂级数 是不缺项的，,幂级数在 的收敛域是以坐标原点为中点，长度为2R的区间(特殊情况可能是整个数轴，也可能只是坐标原点)。,它在(-R，R)内收敛；,在(-R，R)外发散；,通常称R为幂级数 的收敛半径，,区间(-R,R)称为

6、幂级数的收敛区间。,例1 求幂级数 的收敛半径。,解：,收敛半径：,即级数 收敛半径 R=+，,幂级数在(-,+)内收敛。,例2 求幂级数1+2x+(3x)2+(nx)n-1+的收敛半径。,解:,收敛半径:,即 级数 仅在x=0处收敛。,例3 求幂级数 的收敛区间。,解:,收敛半径:,当|x|1时，,级数 收敛；,当|x|1时，,级数 发散。,当x=1和x=-1时，,级数分别为 和,前者收敛，后者发散。,所以幂级数 的收敛区间为(-1，1。,例4 求幂级数 的收敛区间。,解:,令 x-2=t，得,所以-2 t 2,即-2x-22,得0 x4。,当x=0得，它是发散的;,当x=4时，得，也发散。

7、,所以幂级数 收敛域为(0,4)。,解:,例5 请求幂级数 的收敛区间。,当1，即x2 1时，级数收敛，,即|x|1时，所求幂级数绝对收敛；,当x=1时，代入级数得，级数收敛；,所以幂级数 的收敛区间为-1，1。,三、幂级数的运算,设幂级数 与 的收敛半径分别为R1与R2(R1与R2与均不为零)，,它们的和函数分别为S1(x)与S2(x)，,记R=min(R1，R2)，,那么对于幂级数可进行以下运算：,1加法和减法,=S1(x)S2(x),此时所得幂级数 的收敛半径是R。,2乘法,=a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+(a0bn+a1bn-1+anb0)x

8、n+=S1(x)S2(x),此时所得幂级数的收敛半径是R。,则和函数S(x)在(R，R)内可积，,则在(R，R)内和函数S(x)可导，,3逐项求导数,若幂级数 的收敛半径为R，,且有,所得幂级数的收敛半径仍为R，但在收敛区间端点处的收敛性可能改变。,4逐项积分,设幂级数 的和函数S(x)收敛半径为R，,且有,所得幂级数的收敛半径仍为R，但在收敛区间端点处的收敛性可能改变。,例6 讨论幂级数 逐项求积分所得幂级数的收敛区间。,解：,收敛半径R=1，,逐项求积分后得,它的收敛半径仍为R=1。,当x=-1时，,幂级数为交错级数,是收敛的。,当x=1时，,幂级数为调和级数，,它是发散的。,故幂级数 的

9、收敛区间为-1,1)。,例7 求幂级数 的和函数。,解：,所给幂级数的收敛半径R=1，,收敛区间为(-1,1)。,注意到,而,在收敛区间(-1,1)内，,所以,(8-7)式称为f(x)的x的幂级数展开式。,因此，把一个函数表示为幂级数，,而且在它的收敛区间内还可以像多项式一样地进行运算，,四、函数展开为幂级数,对于研究函数有着重要的意义。,我们看到，幂级数不仅形式简单，,对于一个给定的函数f(x),如果能找到一个幂级数，,使(-RxR)(8-7)成立，,那么，我们就说函数f(x)可以展开为x的幂级数，,在这里，有两个问题需要我们去解决：,(1)在式(8-7)中，系数 a0,a1,a2,an,如

10、何确定？,(2)f(x)满足什么条件才能展开为x的幂级数？,先解决问题(1):,不妨假设(8-7)式成立，,那么根据幂级数的逐项求导法，,对式(8-7)依次求出各阶导数：,把x=0代入式(8-7)及上列的各等式，得,a0=f(0),把它们代入式(8-7),得,那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数。,通常称式(8-8)为f(x)的幂级数展开式，,但要注意，,按上述形式作出的麦克劳林级数，,在收敛区间内是否一定收敛于函数本身呢？,因此，还要解决问题(2)，,研究f(x)满足什么条件才能展开为x的幂级数，,或着说麦克劳林级数满足什么条件才能收敛于f(x)。,在(-R,R)内，,只要考察余项,是否

11、随n的无限增大而趋于零。,当f(x)在(-R，R)内有任意阶导数时，,可以证明，,(其中在0和 x之间；n=1,2,),综上所述可得：,如果f(x)在包含点x=0的某一区间(-R,R)内有任意阶导数，,(在0和 x之间；-RxR)(7-9),且,那么f(x)在区间(R，R)内可以展开为麦克劳林级数。,函数展开为麦克劳林级数的一般步骤为：,1.求出f(x)的各阶导数；,2.计算f(0),；,3.写出f(x)的麦克劳林级数,4.求出上述级数的收敛区间(-R，R)；,5.在收敛区间内考察 是否为零，,若为零，,则有：,否则即使求出的麦克劳林级数收敛，,其和函数也不一定为f(x)。,例8 求指数函数f

12、(x)=e x 的麦克劳林展开式。,解：,由于 f(n)(x)=e x，,故得 f(n)(0)=1(n=1,2,)。,于是，e x 的麦克劳林级数为:,它的收敛半径为R=+。,要证明这个级数在(-，+)内收敛于e x，,就需验证式(7-9)在(-，+)内成立，,现在,(在0和 x之间)，,因 ee|x|，,故对任意给定的x，,e有界。,而 是级数的一般项，,所以根据级数收敛的必要条件，,对任意的 x，,都有,从而,即得e x 的麦克劳林展开式为:,于是sin x的麦克劳林展开式为:,例9 求正弦函数f(x)=sin x的麦克劳林展开式。,解：,正弦函数的各阶导数为：,，,(n=0,1,2,),

13、f(n)(0)依次循环地取0,1,0,-1,，,于是得sin x麦克劳林级数为:,其收敛区间为(-,+)。,所以，对任意x，,同理，,我们可得到常见函数的麦克劳林展开式:,上面我们研究了函数f(x)的麦克劳林展开式，,即f(x)在 x=0处的展开式。,采用类似的方法，,还可以得到：,如果函数f(x)在包含x=a的某一区间(a-R,a+R)内有任意阶导数，,且,(在a和 x之间；a-Rxa+R),那么f(x)在区间(a-R,a+R)内可以展开为(x-a)的幂级数:,通常称式(8-10)为f(x)在x=a 处的泰勒展开式,称(8-10)式右端的级数为f(x)在x=a处的泰勒级数。,将t换回x即得所求展开式为：,例10 求函数f(x)=x在x=2处的泰勒展开式。,解：,用间接法展开比直接法更简便。,令x-2=t，,则x=(2+t),于是，求x在x=2 处的泰勒展开式，,就化为求(2+t)在t=0处的泰勒展开式。,由于,小结：,1.函数项级数及其有关概念。,2.幂级数的概念及其收敛性。,3.幂级数的运算。,4.函数展开为幂级数。,作业：,教材P142 1,12,