幂级数经典课件.ppt
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1、幂级数,主要内容:,函数项级数。幂级数及其收敛性。幂级数的运算。函数展开为幂级数。,一、函数项级数,在前面,,我们曾讨论过公比为q的无穷等比级数:,当|q|1时,级数是收敛的,,其和为,,因此我们也可以把q看作(-1,1)内变化的一个自变量,用x代替它,即可得到:,由于上式对区间(-1,1)内的每一个q值都成立,,它的每一项都是以x为自变量的函数。,则称点x0为函数项级数(8-3)的一个收敛点;,收敛点的全体构成的集合,,一般地,,由定义在同一区间内的函数序列构成的无穷级数:,u1(x)+u2(x)+un(x)+(8-3),称为函数项级数,,记为。,在函数项级数(8-3)中,若令x取定义域中某
2、一确定值x0,,则得到一个数项级数,u1(x0)+u2(x0)+un(x0)+,称为函数项级数的收敛域。,若该数项级数收敛,,反之,则称点x0为函数项级数(8-3)的发散点。,且称之为函数项级数的部分和函数,,若x0是收敛域内的一个值,,则必有一个和S(x0)与之对应,,即 S(x0)=u1(x0)+u2(x0)+un(x0)+,这个函数S(x)就称为函数项级数的和函数。,当x0在收敛域内变化时,,上述级数的和S(x0)也随之变化,,就得到一个定义在收敛域上的函数S(x),,即 S(x)=u1(x)+u2(x)+un(x)+,那么在函数项级数的收敛域内有,将函数项级数的前n项和记为Sn(x),
3、,即,Sn(x)=u1(x)+u2(x)+un(x),二、幂级数及其收敛性,和=a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+an(x-a)n+(8-5),一般地,,形如=a0+a1x+a2x2+anxn+(8-4),的级数称为幂级数。,其中an(n=0,1,2,)和a都是常数,,an称为幂级数的系数。,对于级数(8-5),,只要令 x-a=t,就可化为(8-4)的形式,因此下面我们主要讨论级数(8-4)。,所以区间(-1,1)就是该幂级数的收敛域。,或者说幂级数(8-4)在点x0处收敛;,对于幂级数(8-4),它的每一项在区间(-,+)内都有定义,,因此对于每个给定的实数值x0,将其代入(8-4)
4、式,,就得到一个数项级数:,如果(8-6)收敛,,则称点x0为幂级数(8-4)的收敛点,,如果(8-6)发散,,则称点x0为幂级数(8-4)的发散点,,或者说幂级数(8-4)在点x0处发散。,所有收敛点的集合称为幂级数的收敛域,,所有发散点的集合称为幂级数的发散域。,例如幂级数,,当x在区间(-1,1)内取任一个值x0时,,级数 都收敛,,其和为。,而(-,-1)及(1,+)就是该幂级数的发散域。,则称幂级数为不缺项,,设幂级数 中an0(n=0,1,2,),,否则称为缺项幂级数。,在级数(8-4)中,设,,用比值判别法,得,则,(3)当=0,即|x|=0时,级数(8-4)对任何x值收敛。,(
5、1)当|x|1,即 时,级数(8-4)收敛;,(2)当|x|1,即 时,级数(8-4)发散;,因此,令,即,就得到下面定理:,在x=R处,可能收敛也可能发散(此时=1),,而当|x|R时幂级数发散;,定理,则有:,(1)如果0R+,则当|x|R时幂级数收敛,,(2)如果R=+,,则幂级数在(-,+)内收敛;,(3)如果R=0,,则幂级数仅在x=0处收敛。,由定理知:,设幂级数 是不缺项的,,幂级数在 的收敛域是以坐标原点为中点,长度为2R的区间(特殊情况可能是整个数轴,也可能只是坐标原点)。,它在(-R,R)内收敛;,在(-R,R)外发散;,通常称R为幂级数 的收敛半径,,区间(-R,R)称为
6、幂级数的收敛区间。,例1 求幂级数 的收敛半径。,解:,收敛半径:,即级数 收敛半径 R=+,,幂级数在(-,+)内收敛。,例2 求幂级数1+2x+(3x)2+(nx)n-1+的收敛半径。,解:,收敛半径:,即 级数 仅在x=0处收敛。,例3 求幂级数 的收敛区间。,解:,收敛半径:,当|x|1时,,级数 收敛;,当|x|1时,,级数 发散。,当x=1和x=-1时,,级数分别为 和,前者收敛,后者发散。,所以幂级数 的收敛区间为(-1,1。,例4 求幂级数 的收敛区间。,解:,令 x-2=t,得,所以-2 t 2,即-2x-22,得0 x4。,当x=0得,它是发散的;,当x=4时,得,也发散。
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