基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(IV).ppt

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1、1.2.2(2)复合函数及其求导,普通高中课程标准实验教科书 数学（选修2-2）,1.常见函数的导数公式,一.复习引入,(C为常数)；,2.导数的运算法则,一.复习引入,法则1.,法则2.,法则3.,特别地,（c为常数）,注：,（1）前提条件是每一个函数存在导数；,（2）和与差的导数可推广到任意有限个的情形；,（3）商的导数是分子中间为“”，先对分子求导乘以分母，再减去分母求导乘以分子。,一.复习引入,例1：设 y=xlnx，求 y.,典例精析,课堂练习,设 求 y.,例2:（1）求过曲线y=cosx上点P()的切线的直线方程;(2)若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.,典例

2、精析,(2)若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.,解:(2)设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有:y0=3x0+1,y0=ax03,3ax02=3.,由,得3x0+1=ax03,由得ax02=1,代入上式可得:3x0+1=x0,x0=1/2.,所以a(-1/2)2=1,即:a=4,典例精析,如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行,求切点的坐标与切线方程.,解:切线与直线 y=4x+3 平行,切线斜率为 4.,又切线在 x0 处斜率为 y|x=x0,3x02+1=4.,x0=1.,当 x0=1 时,y0=-8;,当 x0=

3、-1 时,y0=-12.,切点坐标为(1,-8)或(-1,-12).,切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.,=(x3+x-10)|x=x0,=3x02+1.,课堂练习,思考,如何求函数y=（3x+2）的导数呢？,我们无法用现有的方法求函数y=（x+2）的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.,若设u=3x+2，则y=ln u.即y=（3x+2）可以看成是由y=ln u和u=3x+2经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.,如果把y与u的关系记作yf(u)，u与x的关系记作ug(x)，复合过程可表示为yf(u)fg(x)ln(3x2)如函数y(2x3)2，是

4、由yu2和u2x3复合而成的,1.复合函数:,一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x).,二.新课学习,2.复合函数的导数:,若yf(g(x)，则 yf(g(x)f(g(x)g(x).,二.新课学习,复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.,解答问题,由此可得，y=(3x+2)对x的导数等于y=u对u的导数与u=3x+2对x的导数的乘积，即,例3：说出下列函数分别由哪几个函数复合而成,并求其

5、导数。,典例精析,例3:求下列函数的导数:,(2),(3)y=tan3x;,(4),典例精析,课堂练习,例4：求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0 的最短距离。,典例精析,课堂练习,设y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相等的实根，且f(x)=2x+2.求y=f(x)的表达式。,典例精析,例5：若可导函数f(x)是奇函数，求证：其导函数f(x)是偶函数.,证明：因为y=f（x）是奇函数 所以f（x)=-f(-x)两边同时对x求导可得 f(x）=-f(-x）=f(-x),（1）已知函数f(x)是偶函数，f(x)可导，求证：f(x)为奇函数,证明：（1）由于f(x)是偶函数，故f(x)f(x)对f(x)f(x)两边取x的导数，则f(x)(x)f(x)，即f(x)f(x)因此f(x)为奇函数,课堂练习,（2）已知函数y=f(x)是可导的周期函数，试求证其导函数y=f(x)也为周期函数.,证明：（2）设f(x)是一个以T为周期的函数，则有：f(x)=f(x+T)两边同时求导，则有 f(x)=f(x+T)可知f(x)的导函数仍然是周期函数。,1.基本初等函数的导数公式；2.导数的运算法则；3.复合函数的导数.,课堂总结,课后作业,