回归分析及模型.ppt

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1、一元线性回归分析,线性回归分析,1 相关分析 2 一元线性回归3 利用回归方程进行估计和预测4 方差分析,学习目标,1.相关关系的分析方法一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计回归直线的拟合优度回归分析中的显著性检验利用回归方程进行估计和预测,1 相关分析,1.1 变量间的关系1.2 相关关系的描述与测度1.3 相关系数的显著性检验,变量间的关系,函数关系,是一一对应的确定关系设有两个变量 x 和 y，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x，当变量 x 取某个数值时，y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y=f(x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量各观

2、测点落在一条线上,确定的依存关系,函数关系(几个例子),某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为 y=px(p 为单价)圆的面积S与半径R之间的关系可表示为S=R2 企业的原材料消耗额y与产量x1、单位产量消耗x2、原材料价格x3之间的关系可表示为 y=x1 x2 x3,相关关系(correlation),变量间关系不能用函数关系精确表达一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个各观测点分布在一条线的周围,不确定的依存关系,相关关系(几个例子),父亲身高y与子女身高x之间的关系收入水平y与受教育程度x之间的关系粮食单位面积产量y与施肥量x1、

3、降雨量x2、温度x3之间的关系商品的消费量y与居民收入x之间的关系商品销售额y与广告费支出x之间的关系,相关关系(类型),相关分析及其假定,相关分析及其假定,相关分析要解决的问题变量之间是否存在关系？如果存在关系，它们之间是什么样的关系？变量之间的关系强度如何？样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？为解决这些问题，在进行相关分析时，对总体有以下两个主要假定变量之间是线性关系涉及的变量都是随机变量,相关关系的描述与测度(散点图),散点图(scatter diagram),散点图(例题分析),【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、

4、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增长，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，管理者希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据,散点图(例题分析),散点图(不良贷款对其他变量的散点图),相关关系的描述与测度(相关系数),相关系数(correlation coefficient),度量变量之间关系强度的一个统计量对两个变量之间线性相关强度的度量称为简单相关系数若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为若是根据样本数据计算的，则称为样

5、本相关系数，简称为相关系数，记为 r也称为线性相关系数(linear correlation coefficient)或称为Pearson相关系数(Pearsons correlation coefficient),相关系数(计算公式),样本相关系数的计算公式,或化简为,相关系数（性质）,性质1：r 的取值范围是-1,1|r|=1，为完全相关：r=1，为完全正相关 r=-1，为完全负正相关 r=0，不存在线性相关关系-1r0，为负相关；0r1，为正相关|r|越趋于1，关系越强；|r|越趋于0，关系越弱,相关系数（性质）,性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间 的相关系数相等，

6、即rxy=ryx性质3：r数值大小与x和y的原点及尺度无关，即改变x和y 的数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用 于描述非线性关系。这意为着，r=0只表示两个变 量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没 有任何关系性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不 一定意味着x与y一定有因果关系,相关系数（经验解释）,|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关0.5|r|0.8时，可视为中度相关0.3|r|0.5时，视为低度相关|r|0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不相关上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基

7、础之上,相关系数(例题分析),相关系数的显著性检验,相关系数的显著性检验(检验的步骤),1.检验两个变量之间是否存在线性相关关系采用R.A.Fisher提出的 t 检验检验的步骤为提出假设：H0：；H1：0,计算检验统计量的具体值：,根据显著性水平确定临界值t 作出决策 若tt，拒绝H0；若tt，不拒绝H0,相关系数的显著性检验(例题分析),对不良贷款与贷款余额之间的相关系数进行显著性检验(0.05)提出假设：H0：；H1：0计算检验统计量的具体值,根据显著性水平0.05，查t分布表得 t(n-2)=t0.05(23)=2.069 决策：由于t=7.5344t0.05(23)=2.069，拒绝

8、H0 结论：不良贷款与贷款余额之间存在着显著的线性 相关关系,相关系数的显著性检验(需要注意的问题),即使统计检验表明相关系数在统计上是显著的，并不一定意味着两个变量之间就存在重要的相关性因为在大样本的情况下，几乎总是导致相关系数显著比如，r=0.1，在大样本的情况下，也可能使得r通过检验，但实际上，一个变量取值的差异能由另一个变量的取值来解释的比例只有 r2=1%这很难说明两个变量之间统计上的显著性具有实际意义,2 一元线性回归,2.1 一元线性回归模型2.2 参数的最小二乘估计2.3 回归直线的拟合优度2.4 显著性检验,什么是回归分析？(regression),建立数学关系式：从一组样本

9、数据出发，确定变量之间的数学关系式进行统计检验：对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著用于预测或控制：利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度与可靠程度,回归模型的类型,一元线性回归模型,一元线性回归,涉及一个自变量的回归因变量y与自变量x之间为线性关系被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)，用y表示用来预测或用来解释因变量的变量称为自变量(independent variable)，用x表示 因变量与自变量之间的关系用一个线性方

10、程来表示,回归模型(regression model),回答“变量之间是什么样的关系？”方程中运用1 个数值型因变量(响应变量)被预测的变量1 个或多个数值型或分类型自变量(解释变量)用于预测的变量3.主要用于预测和控制,一元线性回归模型,描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型一元线性回归模型可表示为 y=b0+b1 x+ey 是 x 的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化误差项 是随机变量反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性0 和 1 称为模型的参

11、数,一元线性回归模型(基本假定),因变量x与自变量y之间具有线性关系在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的误差项是一个随机变量期望值为0，即E()=0 对于一个给定的 x 值，y 的期望值为 E(y)=0+1 x对于所有的 x 值，的方差2 都相同服从正态分布相互独立，即与一个特定的x对应的与其他x对应的不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关,一元线性回归模型(基本假定),回归方程(regression equation),描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程一元线性回归方程的形式如下 E(y)=0+1

12、x,方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值,估计的回归方程(estimated regression equation),一元线性回归中估计的回归方程为,用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和，就得到了估计的回归方程,总体回归参数 和 是未知的，必须利用样本数据去估计,其中：是y的估计值；是估计的回归直线在 y 轴上的截距，是直线的斜率，表示 x 每变动一个单位时，的平均变动值,参数的最小二乘估计,最小二乘估计(method of least sq

13、uares),德国科学家Karl Gauss(17771855)提出用最小化图中垂直方向的误差平方和来估计参数 使因变量的观察值与估计值之间的误差平方和达到最小来求得 和 的方法。即,用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小,Karl Gauss的最小化图,x,y,(xn,yn),(x1,y1),(x2,y2),(xi,yi),根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下求解 和 的标准方程组,最小二乘法(和 的计算公式),估计方程的求法(例题分析),【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程 解：编制辅助计算表,估计方程的求法(例题分析),把数据代入公式求解参数,

14、估计方程的求法(例题分析),不良贷款对贷款余额回归方程的图示,用Excel进行回归分析,第1步：选择【工具】下拉菜单第2步：选择【数据分析】选项第3步：在分析工具中选择【回归】，选择【确定】第4步：当对话框出现时 在【Y值输入区域】设置框内键入Y的数据区域 在【X值输入区域】设置框内键入X的数据区域 在【置信度】选项中给出所需的数值 在【输出选项】中选择输出区域 在【残差】分析选项中选择所需的选项,工具数据分析回归,用Excel进行回归分析(例题分析),不良贷款对贷款余额的回归分析,回归直线的拟合优度,变差,因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面由于自变量

15、x 的取值不同造成的除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与观测值均值之差来表示,变差的分解(图示),变差分解式 两边取平方，然后求和,方差平方和的分解(三个平方和的关系),SST=SSR+SSE,方差平方和的分解(三个平方和的意义),总平方和(SSTtotal sum of squares)反映因变量的 n 个观察值与其均值的总变差回归平方和(SSRsum of squares of regression)反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的

16、取值变化，也称为可解释的平方和残差平方和(SSEsum of squares of error)反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和,判定系数R2(coefficient of determination),回归平方和占总误差平方和的比例,反映回归直线的拟合程度取值范围在 0,1 之间 R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差判定系数等于相关系数的平方，即R2r2,判定系数(例题分析),解：编制辅助计算表,【例】计算不良贷款对贷款余额回归的判定系数，并解释其意义,判定系数(例题分析),把数据代入公式计算判定系数 判定系数的实际

17、意义是：在不良贷款取值的变差中，有71.16%可以由不良贷款与贷款余额之间的线性关系来解释，或者说，在不良贷款取值的变动中，有71.16%是由贷款余额所决定的。也就是说，不良贷款取值的差异有2/3以上是由贷款余额决定的。可见不良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系,估计标准误差(standard error of estimate),实际观察值与回归估计值误差平方和的均方根反映实际观察值在回归直线周围的分散状况对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小 计算公式为,注：例题的计算结果为1.9799,显著性检验,线性关

18、系的F检验,方程总体的检验：检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数k)残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-k-1),线性关系的F检验(检验的步骤),提出假设H0：1=0 线性关系不显著；H1：10 显著,2.计算检验统计量F,确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 作出决策：若FF,拒绝H0；若FF,不拒绝H0,线性关系的F检验(例题分析),提出假设H0：1=0 H1：1=0计算检验统计量F,确定显著性水平=0.05，并根据分子自由度1和分

19、母自由度25-2找出临界值F=4.28作出决策：若FF,拒绝H0，线性关系显著,判定系数辅助计算表,线性关系的F检验(方差分析表),Excel 输出的方差分析表,回归系数的t检验,在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验采用t检验,检验 x 与 y 之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量 x 对因变量 y 的影响是否显著,理论基础是回归系数 的抽样分布,回归系数的t检验(检验步骤),提出假设H0:b1=0(没有线性关系)H1:b1 0(有线性关系)计算检验的统计量,确定显著性水平，并进行决策 tt，拒绝H0；tt，不拒绝H0,回归系数的t检验(例题分析),对例题的回归系数进行显著性检验(

20、0.05)提出假设H0：b1=0 H1：b1 0 计算检验的统计量,t=7.533515t0.05=2.201，拒绝H0，表明不良贷款与贷款余额之间有显著的线性关系,回归系数的t检验(例题分析),P 值的应用,P=0.000000=0.05，拒绝原假设，不良贷款与贷款余额之间有显著的线性关系,显著性检验(注意两点),在对回归系数进行检验时，如果拒绝了H0：1=0，仅仅是表明在样本观测范围内，x和y之间存在线性关系，而且这个线性关系只是解释了y的变差中的显著部分在一元线性回归中，自变量只有一个，F检验和 t 检验是等价的；但在多元回归分析中这两种检验的意义是不同的，F检验只是用来检验总体回归关系

21、的显著性，而 t 检验则是检验各个回归系数的显著性,Excel回归(三部分的解释),回归分析结果的评价,建立的模型是否合适？或者说，这个拟合的模型有多“好”？要回答这些问题，可以从以下几个方面入手所估计的回归系数 的符号是否与理论或事先预期相一致在不良贷款与贷款余额的回归中，可以预期贷款余额越多，不良贷款也可能会越多，也就是说，回归系数的值应该是正的，在上面建立的回归方程中，我们得到的回归系数 为正值如果理论上认为x与y之间的关系不仅是正的，而且是统计上显著的，那么所建立的回归方程也应该如此,回归模型在多大程度上解释了因变量y取值的差异？可以用判定系数R2来回答这一问题在不良贷款与贷款余额的回

22、归中，得到的R2=71.16%，解释了不良贷款变差的2/3以上，说明拟合的效果还算不错考察关于误差项的正态性假定是否成立。因为我们在对线性关系进行F检验和回归系数进行t检验时，都要求误差项服从正态分布，否则，我们所用的检验程序将是无效的。正态性的简单方法是画出残差的直方图或正态概率图,回归分析结果的评价,3 利用回归方程进行估计和预测,3.1 点估计3.2 区间估计,利用回归方程进行估计和预测,根据自变量 x 的取值估计或预测因变量 y的取值估计或预测的类型点估计y 的平均值的点估计y 的个别值的点估计区间估计y 的平均值的置信区间估计y 的个别值的预测区间估计,点估计,点估计,2.点估计值有

23、y 的平均值的点估计y 的个别值的点估计在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同,对于自变量 x 的一个给定值x0，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计值,y 的平均值的点估计（例题分析）,在前面的例子中，假如我们要估计贷款余额为100亿元时，所有分行不良贷款的平均值，就是平均值的点估计。根据估计的回归方程 得,例如，如果我们只是想知道贷款余额为72.8亿元的那个分行(这里是编号为10的那个分行)的不良贷款是多少，则属于个别值的点估计。根据估计的回归方程 得,y 的个别值的点估计（例题分析）,区间估计,区间估计,点估计不能给出估计的精度与可靠程度对于自变

24、量 x 的一个给定值 x0，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计区间区间估计有两种类型置信区间估计(confidence interval estimate)预测区间估计(prediction interval estimate),置信区间估计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0，求出因变量 y 的平均值的估计区间，这一估计区间称为置信区间(confidence interval)E(y0)在1-置信水平下的置信区间为,式中：se为估计标准误差,置信区间估计(例题分析),【例】求出贷款余额为100亿元时，不良贷款95%置信水平下的置信区间 解：根据前面的计算结果，已知n=

25、25，se=1.9799，t(25-2)=2.069 置信区间为,当贷款余额为100亿元时，不良贷款的平均值在2.11413.8059亿元之间,预测区间估计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0，求出因变量 y 的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间(prediction interval)y0在1-置信水平下的预测区间为,注：与置信区间的区别在于“1”,预测区间估计(例题分析),【例】求出贷款余额为72.8亿元的那个分行，不良贷款95%的预测区间 解：根据前面的计算结果，已知n=25，se=1.9799，t(25-2)=2.069 预测区间为,贷款余额为72.8亿元的

26、那个分行，其不良贷款的预测区间在-2.27666.1366亿元之间,置信区间和预测区间(例题分析),置信区间、预测区间、回归方程,估计和预测需要注意的问题,在利用回归方程进行估计或预测时，不要用样本数据之外的x值去预测相对应的y值因为在一元线性回归分析中，总是假定因变量y与自变量x之间的关系用线性模型表达是正确的。但实际应用中，它们之间的关系可能是某种曲线此时我们总是要假定这条曲线只有一小段位于x测量值的范围之内。如果x的取值范围是在xL和xU之间，那么可以用所求出的利用回归方程对处于xL和xU之间的值来估计E(y)和预测y。如果用xL和xU之间以外的值得出的估计值和预测值就会很差,实际数据是

27、曲线而模型为直线(举例),4 方差分析,4.1 用残差证实模型的假定4.2 用残差检测异常值和有影响的观测值,用残差证实模型的假定,残差(residual),因变量的观测值与根据估计的回归方程求出的预测值之差，用e表示,残差图(residual plot),表示残差的图形关于x的残差图横轴自变量；纵轴残差关于 的残差图横轴；纵轴残差对于简单线性回归，提供同样的信息；对于多元回归，后者有着更广泛的应用检测模型的假定是否成立 检测异常值与有影响的观测值,残差图（检测模型的定型错误）,作关于x的残差图如果有多个自变量，则分别作各个自变量的残差图如果残差的变化不是随机带状模式，则表明建立了一个错误的模

28、型,遗漏二次项,残差图（检测不相等的方差）,作关于 的残差图如果残差的变化不是随机带状模式，则表明方差不相等,残差图（检测非正态性）,作残差的直方图、茎叶图等如果数据分布明显偏斜，则正态性假定不成立作关于 的残差图若误差项正态分布假定成立，残差的分布也应服从正态分布在残差图中，大约有95%的残差在 02 S 之间,残差图（检测相关误差）,时间序列数据的回归分析，误差项彼此独立的假定往往遭到破坏作关于时间t的残差图如果残差图中相邻的残差具有正负号相同的倾向，误差项彼此独立的假定可能遭到破坏,残差图(例题分析),注意：Excel给出的标准残差的计算公式为 这实际上是学生化删除残差(studenti

29、zed deleted residuals）用它可以检测出标准化残差不能检测出的异常值,标准化残差(standardized residual),残差除以它的标准差也称为Pearson残差或半学生化残差(semi-studentized residuals)计算公式为,第i个观测值的杠杆率,标准化残差图（检测非正态性）,若误差项正态分布假定成立，标准化残差的分布也应服从正态分布在标准化残差图中，大约有95%的标准化残差在 02 之间,标准化残差图(例题分析),用残差检测异常值和 有影响的观测值,异常值(outlier),如果某一个点与其他点所呈现的趋势不相吻合，这个点就有可能是异常点，或称为野

30、点如果异常值是一个错误的数据，比如记录错误造成的，应该修正该数据，以便改善回归的效果如果是由于模型的假定不合理，使得标准化残差偏大，应该考虑采用其他形式的模型，比如非线性模型如果完全是由于随机因素而造成的异常值，则应该保留该数据在处理异常值时，若一个异常值是一个有效的观测值，不应轻易地将其从数据集中予以剔除,异常值(识别),异常值也可以通过标准化残差来识别如果某一个观测值所对应的标准化残差较大，就可以识别为异常值一般情况下，当一个观测值所对应的标准化残差小于-2或大于+2时，就可以将其视为异常值,有影响的观测值,如果某一个或某一些观测值对回归的结果有强烈的影响，那么该观测值或这些观测值就是有影

31、响的观测值 一个有影响的观测值可能是一个异常值，即有一个值远远偏离了散点图中的趋势线对应一个远离自变量平均值的观测值或者是这二者组合而形成的观测值，,有影响的观测值(图示),不存在影响值的趋势,有影响的观测值,存在影响值的趋势,杠杆率点(leverage point),如果自变量存在一个极端值，该观测值则称为高杠杆率点(high leverage point)在一元回归中，第i个观测值的杠杆率用hi表示，其计算公式为 如果一个观测值的杠杆率，就可以将该观测值识别为有高杠杆率的点 一个有高杠杆率的观测值未必是一个有影响的观测值，它可能对回归直线的斜率没有什么影响,高杠杆率点(图示),高杠杆率点,本次内容小结,相关分析回归模型、回归方程与估计的回归方程回归直线的拟合优度回归分析中的显著性检验估计和预测,结 束,THANKS,