南开大学高等数学课件13导数与微分.ppt
《南开大学高等数学课件13导数与微分.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《南开大学高等数学课件13导数与微分.ppt(75页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、第一章 微积分1.3 导数与微分,2.3 导数与微分,主要教学内容:导数与微分的概念,计算高阶导数隐函数的导数与微分分段函数的导数经济学函数的弹性用微分作近似计算二元函数的导数与微分,2.3 导数与微分,导数的概念1.曲线的切线斜率 圆的切线:与圆相交于唯一点的直线 但对于一般曲线,切线是不能这样定义的例如下图中右边的曲线在P点处的切线,除P点外还交曲线于Q点。,2.3 导数与微分,为确切表达切线的含义,需应用极限的思想请看下图,2.3 导数与微分,点P(x0,f(x0)=P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的给定点,点Q(x,y)=Q(x,f(x)是曲线上的动点,可在P的两侧:在右侧时xx0
2、;在左侧时 x x0 动直线PQ 是曲线的割线 如果动点Q 无限地逼近定点P 时,动直线PQ 有一个极限位置PT,即 则称PT 为曲线在P 点的切线,建立PT 的方程,只需确定其斜率由于PT 是PQ 的极限,从而PT 的斜率是PQ 斜率的极限,极限过程是由QP 产生而QP 即xx0 现设PT对于x 轴的倾角(即x 轴正向逆时针旋转至PT经过的角)为,PT的斜率为k=tan,2.3 导数与微分,现在割线PQ 的斜率为,则切线PT 的斜率为:,由此得切线PT 的方程是:y f(x0)=k(x x0),2.3 导数与微分,2.导数的定义 定义 设函数y=f(x)在点x0的一个邻域X内有定义,y0=f
3、(x0)如果xX x0,我们称x=xx0(读作delta)为自变量的改变量,y=f(x)f(x0)为函数的(对应)改变量,比值 为函数的差商或平均变化率 如果极限 存在,则称函数y=f(x)在点x0可导(或可微),该极限称为函数y=f(x)在x0 点关于自变量x 的导数(或微商)记作 因x=xx0,x=x0+x,故还有,此时,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)的切线方程是注.x 可正可负,依x 大于或小于x0 而定,2.3 导数与微分,2.3 导数与微分,根据定义求已知函数y=f(x)在给定点x0 的导数的步骤是:1.计算函数在自变量x0+x 处的函数值 f(x0+x);2.计算函数的对应
4、改变量y=f(x0+x)f(x0);3.写出函数的差商4.计算极限,即导数值,2.3 导数与微分,例 求常数函数y=c 的导数 解 因y=y(x+x)y(x)=c c=0,差商 此处x 可为任意实数,即常数函数y在任意点x 处的导数为0.,2.3 导数与微分,例 设n是正整数,求幂函数y=xn在点x处的导数解因特别,当n=1时,函数y=x在任意点x处的导数为1,2.3 导数与微分,例 求曲线yx3在点(2,8)处的切线方程解在上例中取n=3 可知函数y x3 在点x 处的导数为3x2,于是在点(2,8)处的切线斜率是:y(2)=322=12,故曲线yx3 在(2,8)处的切线方程是:y 8=1
5、2(x 2),即 12x y 16=0,2.3 导数与微分,注:(1)一般情况下,给定函数y=f(x)在某个区间X 内每一点都可导,这样可求出X 内每一点的导数y(x),xX于是y(x)成为X 内有意义的一个新函数,它为给定函数y=f(x)的导函数,且常常省略定义中的字样“在x 点处关于自变量的”,甚至简称f(x)的导数 例如:常数函数y=c 的导数是0,y=x 的导数是1,y=xn 的导数是nxn-1等等,分别记作c=0,x=1,(xn)=nxn-1等等(2)关于改变量的记号,应把它与其后面的变量x 或y 看作一个整体,绝不能把x 看成与x 的乘积,为避免误解,用(x)2来表示x的平方,2.
6、3 导数与微分,例 y=sinx的导数是(sinx)=cosx,y=cosx 的导数是(cosx)=sinx 证同理可证,(cosx)=sinx,2.3 导数与微分,例y=logax(0a1)的导数是(logax)=特别,(lnx)=1x,2.3 导数与微分,例 指数函数y=ax(0a1)的导数是(ax)=axlna 证:(ax)=特别,,2.3 导数与微分,2.3.2.变化率问题 1.运动速度问题 设一质点沿直线运动,经过的路程s 是时间t 的函数:s=s(t)时刻t 到t+t 时间段内质点的平均速度为:该瞬时速度v(t)就是极限:即质点运动速度是路程s 关于时间t 的导数。,2.3 导数与
7、微分,例 已知自由落体的运动方程为s=gt,其中g 9.8(m/s2)是重力加速度常数,t与s分别以秒(s)和米(m)为单位求:(1)落体在t 到t+t 时间内的平均速度;(2)落体在t=2,t=0.1,0.01,0.001,0.0001 这些时间段内的平均速度;(3)落体在t 及t=2 时刻的瞬时速度解(1)落体在t 到t+t 时间内的行程是 s=-=,因此平均速度=.,2.3 导数与微分,(2)按照(1)所求出的平均速度表达式,我们用下表列出t=2 开始的各个时间段内的平均速度:t 时刻的瞬时速度:在t=2 时刻的瞬时速度是:v(2)=2g29.8=19.6(m/s),2.3 导数与微分,
8、2.经济学函数的边际(不作为基本要求)边际:导数在经济理论中的别名 设y=f(x)是某个经济学函数经济学把自变量在x0处变化一个单位所引起的函数变化称为函数f(x)在x0 处的边际变化自变量单位的大小可能引起大小不同的误差比如成本函数C=C(x),自变量x 是产量,用吨作单位与千克作单位,引起的成本变化就相差很大为减小这种误差,应取尽可能小的单位但不管取多小的单位,自变量的取值还是非负整数为了运用科学的微积分工具,我们假定成本等经济学函数的自变量x可取连续的非负实数值,2.3 导数与微分,下面仍以成本函数C=C(x)为例 自变量(产量)x0 x0+x 变化x(个单位)函数(成本)C(x0)C(
9、x0+x)变化C=C(x0+x)C(x0)差商是x 个产量的平均成本,即从x0 到x0+x 时1 个单位的自变量变化引起函数的平均变化如果x=1,得C(x0)C=C(x0+1)C(x0)由此可见,C(x0)近似地表示产量从x0 增加1 个单位时的添加成本,或近似地表示第x0+1个单位产量的成但经济学中常略去“近似”二字,把C(x0)称为边际成本,并解释为在产量x0 的水平上,再增加1个单位产量所增加的成本定义 设经济学函数y=f(x)在x0可导,则称导数f(x0)为函数f(x)在x0 处的边际值;若f(x)是可导函数,则导数f(x)称为f(x)的边际函数,2.3 导数与微分,例 设某产品的总成
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 南开大学 高等数学 课件 13 导数 微分

链接地址:https://www.31ppt.com/p-6409267.html