函数的单调性与导数-高2013级.ppt

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1、,1.3.1函数的单调性与导数,（4）.对数函数的导数:,（5）.指数函数的导数:,（3）.三角函数：,（1）.常函数：(C)/0,(c为常数)；,（2）.幂函数：(xn)/nxn1,复习：基本初等函数的导数公式,单调性的定义,对于函数yf(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。,知识回顾,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数,知识回顾,判断函数单调性有哪些方法？,比如：判断函数 的单调性

2、。,图象法,减,增,如图：,思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?,(1)f(x)=2x3-6x2+7(2)f(x)=ex-x+1(3)f(x)=sinx-x,发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过函数的y=x24x3图象来考察单调性与导数有什么关系,2,.,.,.,.,.,.,.,再观察函数y=x24x3的图象：,总结:该函数在区间（，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;,而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.,在区间（2，+）上单增,切线斜率大于0,

3、即其导数为正.,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,y=x,y=x2,y=x3,观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.,结论：在某个区间(a,b)内,如果,那么函数 在这个区间内单调递增;如果,那么函数 在这个区间内单调递减.,如果在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常数函数,函数单调性与导数正负的关系,注意：应正确理解“某个区间”的含义,它必是定义域内的某个区间。,课本思考,思考1：如果在某个区间内恒有，那么函数 有什么特性？,几何意义：,关系：,思考2：结合函数单调性的定义，思考某个区间上函数 的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。,例1、已知导

4、函数 的下列信息：,当10;当x4,或x1时，0;当x=4,或x=1时，=0.则函数f(x)图象的大致形状是(）。,A,B,C,D,D,导函数f(x)的-与原函数f(x)的增减性有关,正负,1应用导数求函数的单调区间,(选填:“增”,“减”,“既不是增函数,也不是减函数”)(1)函数y=x3在3，5上为_函数。(2)函数 y=x23x 在2，+)上为_函数，在(,1上为_函数。,基础训练：,应用举例,增,增,减,求函数 的单调区间。,变1：求函数 的单调区间。,理解训练：,解：,的单调递增区间为,单调递减区间为,变3：求函数 的单调区间。,解:,解:,注意:单调区间不可以并起来.,例3、判断下

5、列函数的单调性，并求出 单调区间：,(1)f(x)=x3+3x;,解：=3x2+3=3(x2+1)0,从而函数f(x)=x3+3x在xR上单调递增，见右图。,(2)f(x)=x2-2x-3;,解：=2x-2=2(x-1),图象见右图。,当 0，即x1时，函数单调递增；,当 0，即x1时，函数单调递减；,(3)f(x)=sinx-x;x(0,p),解：=cosx-10,从而函数f(x)=sinx-x 在x(0,)单调递减，见右图。,(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;,解：=6x2+6x-24=6(x2+x-4),当 0，即 时，函数单调递增；,图象见右图。,当 0，即 时，函数单调递减

6、；,(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;,练习,判断下列函数的单调性,并求出单调区间:,总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。,纳,1什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？,2试总结用“导数法”求单调区间的步骤？,归,设 是函数 的导函数，的图象如右图所示,则 的图象最有可能的是(),(A),(B),(C),(D),C,思考题,A,求参数的取值范围,例2：,解：由已知得,因为函数在（0，1上单调递增,在某个区间上，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于

7、0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证,例3：方程根的问题求证：方程 只有一个根。,B,2.函数y=a(x3-x)的减区间为 则 a 的取值范围为()(A)a0(B)11(D)0a1,A,证明：令f(x)=e2x12x.f(x)=2e2x2=2(e2x1)x0，e2xe0=1，2(e2x1)0,即f(x)0f(x)=e2x12x在(0，+)上是增函数.f(0)=e010=0.当x0时，f(x)f(0)=0，即e2x12x0.1+2xe2x,2.当x0时，证明不等式：1+2xe2x.,分析：假设令f(x)=e2x12x.f(0)=e010=0,如果能够证明f(x)在(0，+)上是增函数，那么f(x)0，则不等式就可以证明.,点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.,提示:运用导数判断单调性,根据函数的单调性比较函数值大小,(1)函数单调性与导数正负的关系,课堂小结,(2)利用导数研究函数单调性的步骤,