函数极限与性质.ppt

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1、函数的极限,1、自变量趋向无穷大时函数的极限,2、自变量趋向某一确定值x0时函数的极限,播放,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,通过上面演示实验的观察:,自变量趋向无穷大时函数的极限,问题:,如何用数学语言刻画下述过程:,要点:,(1)过程,有,定义:,设函数,总存在,着正数,自变量趋向无穷大时函数的极限,总存在,着正数,自变

2、量趋向无穷大时函数的极限,总存在,着正数,恒有,记作,或,(当,注:,根据上述定义,描述如下:,“,恒有,”,几何解释:,自变量趋向无穷大时函数的极限,“,恒有,”,单侧极限:,情形:,即,恒有,情形:,恒有,定理,且,即,例 1,证明,证,因为,于是,可取,恒有,故,证毕.,例 2,用极限定义证明,证,对于任意给定的,要使,只要,即,就可以了.,因此，,对于任意给定的,取,例 2,用极限定义证明,证,因此，,对于任意给定的,取,例 2,用极限定义证明,证,因此，,对于任意给定的,取,恒成立.,所以,注：,同理可证：,例 3,证明,证,由,现在，,令,于是，,若取,就有,即,证毕.,自变量趋向

3、有限值时函数的极限,问题:,如何用数学语言描述下述过程:,要点:,(1)过程,有,定义,若对任意给定的正数,(不论它多么小),总存,在正数,不等式,定义.,自变量趋向有限值时函数的极限,不等式,自变量趋向有限值时函数的极限,不等式,记作,或,(当,恒有,注意:,1.,无关;,2.,定义的几何解释:,几何解释:,例 4,证明,证,任给,要使,只要取,就有,例 5,证明:,证,任给,要使,只要,且,就有,左右极限,左极限,恒有,记作,或,右极限,恒有,记作,或,注意,左右极限,或,注意,左右极限,或,注意,定理,例 7,证,左右极限存在但不相等.,不存在.,例 8,设,求,解,因为,即有,例 9,

4、设,求,解,而,在某个过程中，,无极限，,为什么？,问题思考,函数极限的性质,与收敛数列的性质相比较,可得函数极限的一些相,应性质.,些性质,至于其他形式的极限的性质,只需作出些修,改即可得到.,唯一性定理,则极限唯一.,有界性定理,若,则存在常数,和,有,保号性定理,若,且,(或,则,有,函数极限的性质,则,有,函数极限的性质,则,有,故若取,则,使得当,时,有,证毕.,证,因,(或,注:,由证明可见,保号性定理的结论可加强为,推论,若,(或,如果函数f(x)、g(x)及h(x),0|x-x0|r满足下列条件(1)g(x)f(x)h(x)(2)lim g(x)A lim h(x)A(xx0)

5、那么lim f(x)存在 且lim f(x)A(xx0),证明,夹逼性,结论对x也成立。,(2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB,推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则limcf(x)=climf(x),推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则limf(x)n=limf(x)n,如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么,四则运算法则,(1)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB,解,例,解,因为,例,例,求,解,时，,分子和分母的极限都是零,消去零因子法,例,计算,解,因分母的极限为0，,故不能应用极限运算法则

6、，,而要先对函数做必要的变形，,因分子中含有根式，,通常用根式有理化，,然后约去分子分母中的公因子.,例,先用x3去除分子及分母 然后取极限,解,先用x3去除分子及分母 然后取极限,例,解:,例,例,已知,解,因,例,已知,解,因,例,已知,解,因,故,解得,对有理函数的极限,设,且,则有,则商的法则不能应用.,子序列收敛性,定义,中有,数列,则称数列,定理,若,时的一个子序列,则有,证,使当,时,恒有,又,且,对上述,恒有,子序列收敛性,证,使当,时,恒有,又,且,对上述,恒有,子序列收敛性,证,使当,时,恒有,又,且,对上述,恒有,从而有,故,1 数列的子列如果发散,原数列是否发散?2 数

7、列的两个子列收敛,但其极限不同,原数列 的收敛性如何?3 发散的数列的子列都发散吗？,问题思考,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是,都存在且相等.,例如,设,则,例如,证,取,它的任何子列的极限,函数极限与数列极限的关系,证,取,函数极限与数列极限的关系,证,取,而,二者不相等,复合函数的极限问题,若,下面运算是否正确？,令 u=g(x),当xx0时，有uu0,即,求复合函数的极限,显然,令u=g(x),请看下面的例子,分别取趋于零的两个子列,则有,所以极限,为什么用变量代换的方法，求复合函数的极限，其结果是错误的呢？原因何在？,导致复合函数f(g(x)极限错误的原因有两个：,

8、自然要问：需要什么条件才能用变量代换的方法，正确地求出复合函数的极限呢？,针对这两个原因，我们有下面的定理:,证 1)由条件limf(u)=B(uA),对0,10,使 得当0|u-A|1,成立|f(u)-B|,又由条件limg(x)=A(xx0),对上述1,0,使得当0|x-x0|,成立|g(x)-A|1.根据题设条件知在x0的去心邻域内,有0|g(x)-A|1,因此成立|f(g(x)-B|。,2)由条件limf(u)=f(A)=B(uA),对0,10,使得当|u-A|1,成立|f(u)-f(A)|,又由条件limg(x)=A(xx0),对上述1,0,使得当0|x-x0|,成立|g(x)-A|1.从而成立|f(g(x)-f(A)|,容易证明结论仍成立。请同学自证。,复合函数的极限运算法则,心邻域内有定义,若,有,则,且存在,注:,(1),将,可得到类似定理;,定理2,复合函数的极限运算法则,注:,(1),将,可得到类似定理;,复合函数的极限运算法则,注:,(1),将,可得到类似定理;,(2),则作代换,其中,定理表明:,例,求极限,解一,令,故,原式,解二,