几何概型(优质课两个).ppt

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1、（1）所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性)（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）,我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.,复习,1.古典概型,2.古典概型的概率公式,P(A)=,A包含的基本事件的个数,基本事件的总数,复习题：在0至10中，任意取出一整数，则该整数小于5的概率.,3.3.1 几何概型,问题2（转盘游戏）：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?,问题1：在0至10中，任意取出一实数，则该数小于5的概率.,定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或

2、体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability)，简称几何概型。,特征：,（1）、无限性：基本事件的个数无限,（2）、等可能性：基本事件出现的可能性相同,记为：,几何概型的概率公式：,有限性,等可能性,几何概型,古典概型,等可能性,无限性,判断以下各题的是何种概率模型，并求相应概率（1）在集合 A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取一个元素,则 的概率为（2）已知点O（0，0），点M（60，0），在线段OM上任取一 点P，则 的概率为,（1）为古典概率模型,P（）=7/10（2）为几何概率模型,P（）=1/6 是与长度

3、有关的几何概型问题,口答：,1.长度问题：取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？,基础训练：,解：由题意可得,故由几何概型的知识可知，事件A发生的概率为：,设“剪得两段绳长都不小于1m”为事件A。,则把线段三等分，当剪断中间一段时，事件A发生,3m,1m,1m,2.面积问题：如右下图所示的单位圆,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.,解：由题意可得,从而：基本事件的全体 对应的几何区域为面积为的单位圆 事件A对应的几何区域为第一个图形的阴影部分面积 事件B对应的几何区域为第二个图形的阴影部分面积,故几何概型的知识可

4、知，事件A、B发生的概率分别为：,设“豆子落在第一个图形的阴影部分”为事件A，“豆子落在第二个图形的阴影部分”为事件B。,思考:在单位圆内有一点A，现在随 机向圆内扔一颗小豆子。（1）求小豆子落点正好为点A的概率。（2）求小豆子落点不为点A的概率。,结论：若A是不可能事件，则P(A)=0；反之不成立 即：概率为0的事件不一定是不可能事件。若A是必然事件，则P(A)=1；反之不成立 即：概率为1的事件不一定是必然事件。,A,链接,3.体积问题：有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.,解：由题意可得,则：基本事件的全体 对应的几何区域为体

5、积为1升的水 事件A对应的几何区域为体积为0.1升的水,故由几何概型的知识可知，事件A发生的概率为：,设“取出的0.1升水中含有细菌”为事件A。,1.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。(电台整点报时),解：设A=等待的时间不多于10分钟，事件A恰好是打开收音机的时刻位于50，60 内 因此由几何概型的求概率公式得：P（A）=（60-50）/60=1/6“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6,提升训练：,析：如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰,故由几何概型的知识可知所求概率为：,2

6、.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3 cm,把一枚半径为1 cm的硬币任意平抛在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线碰的概率。,课堂小结,1.几何概型的特征：无限性、等可能性、可区域化2.几何概型主要用于解决与测度有关的题目3.注意理解几何概型与古典概型的区别。4.如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解。,1.在区间1,3上任取一数,则这个数大于1.5的概率为(),D,当堂检测：,A.B.C.D.无法计算,B,2.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为 则阴影区域的面积为(),3.在RtABC中,A

7、=30,过直角顶点C作射线CM交线段AB于M,求|AM|AC|的概率.,1/6,析:如图所示,因为过一点作射线是均匀的,因而应把在ACB内作射线CM看做是等可能的,基本事件是射线CM落在ACB内任一处,使|AM|AC|的概率只与BCC的大小有关,这符合几何概型的条件.,1/6,检测3：,题组一：与长度有关的几何概型,1、当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，你看到黄灯的概率是多少_.,2、在单位圆O的一条直径MN上随机地取一点Q，过点Q作弦与MN垂直且弦的长度超过1的概率是_.,题组二：与角度有关的几何概型,变1:在等腰直角ABC中,在斜边AB上任取

8、一点M,求使ACM为钝角三角形的概率.,变2:在等腰直角ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率.,在等腰直角ABC中,过直角顶点C任作一条射线L与斜边AB交于点M,求AM小于AC的概率.,题组三：与体积有关的几何概型,1、已知棱长为2的正方体，内切球O，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为_.,2、用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾，试求这个沙砾距离球心不小于1cm的概率.,例2:假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(

9、称为事件A)的概率是多少?,问题1：如果用X表示报纸送到时间,用Y表示父亲离家时间,请问X与Y的取值范围分别是什么？,问题2：父亲要想在离开家之前拿到报纸，请问x与y 除了要满足上述范围之外，还要满足什么关系？,例2:假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?,问题3：这是一个几何概型吗？那么事件A的概率与什么有关系？长度、面积、还是体积？,问题4：怎么求总区域面积？怎么求事件A包含的区域面积？,我们画一个与x、y有关系的图像,例2:假设你家订了一份报纸,

10、送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?,解：设送报人到达的时间为x,父亲离开家的时间为y,试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD,事件A包含的区域为阴影部分,S阴影部分=,这是一个几何概型,则，P(A)=,数学来源于生活，也用生活,谢谢！,几何概型,普通高中课程标准实验教科书 数学（必修3）第二课时,复习回顾,1.古典概型与几何概型的区别.,相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.,2.古典、几何概型的概率

11、公式.,3.古典、几何概型问题的概率的求解方法.,EX1.已知:公共汽车在05分钟内随机地到达车站，求汽车在13分钟之间到达的概率。,分析：将05分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段，则13分钟是这一线段中的2个单位长度。,解：设“汽车在13分钟之间到达”为事件A，则,答：“汽车在13分钟之间到达”的概率为,EX2.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.,解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件。,由几何概型的概率的公式，得,答:小杯水中含有这个细菌的概率为0.1;,E

12、X3.一张方桌的图案如图所示将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率:（1）豆子落在红色区域；（2）豆子落在黄色区域；（3）豆子落在绿色区域；（4）豆子落在红色或绿色区域；（5）豆子落在黄色或绿色区域,问题1:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?,事实上,甲获胜的概率与黄色所在扇形区域的圆弧的长度有关,而与黄色所在区域的位置无关.因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能的.不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变的.,若把转盘的圆周的长度设为1，则以转盘（1）为游戏工具时，,

13、以转盘（2）为游戏工具时，,分析:上述问题中,基本事件有无限多个,类似于古典概型的“等可能性”还存在,但不能用古典概型的方法求解.,几何概型的定义(重申与回顾),如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.,在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:,(1)如果在转盘上，区域B缩小为一个单点，那么甲获胜的概率是多少？,问题2:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下

14、分别求甲获胜的概率是多少?,构成事件“甲获胜”的区域长度是一个单点的长度0，所以P(甲获胜)=0,(2)如果在转盘上，区域B扩大为整个转盘扣除一个单点，那么甲获胜的概率是多少？,构成事件“甲获胜”的区域长度是圆周的长度减去一个单点的长度0，所以P(甲获胜)=1,归纳(1)概率为0的事件不一定是不可能事件(2)概率为1的事件不一定是必然事件,示例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.,分析：假设他在060分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但060之间有无穷个时刻，,可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率。,又因为电台每隔1小

15、时报时一次，他在060之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件。,解:设事件A=等待的时间不多于10分钟.事件A恰好是打开收音机的时刻位于50,60时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得答“等待的时间不超过10分钟”的概率为,示例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.,练习4.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?,解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于1m”为事件A，把绳子三等分，于是当剪

16、断位置处在中间一段上时，事件A发生。由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一,所以事件A发生的概率P（A）=1/3。,3m,1m,1m,示例2已知:等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率。,分析:由点M随机地落在线段AB上，则线段AB为 区域D.当点M位于图中的线段AC上时，则AMAC，故线段AC即为区域d。,解：在AB上截取AC=AC，则P（AMAC）=P（AMAC）,答：AM小于AC的概率为,示例3(会面问题)已知甲乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概

17、率。,解：设 以 X,Y 分别表示甲、乙二人到达的时 刻，则有,即 点 M 应落在图中的阴影部分.所有的点构成一个正方形。,.M(X,Y),二人会面的条件是：,记“两人会面”为事件A,思考题,甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,到时即可离去,求两人能会面的概率.,【示例2】假设您家订了一份报纸,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?,解以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系,父亲在离开家前能得到报纸的事

18、件构成区域是：,由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A发生,所以,答:父亲在离开家前能得到报纸的概率是。,练习4：在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？,B,C,D,E,.,0,解：记事件A=弦长超过圆内接等边三角形的边长，取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一点在劣弧CD上时，|BE|BC|，而弧CD的长度是圆周长的三分之一，所以可用几何概型求解，有,答：“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为,“抛阶砖”是国外游乐场的典型游

19、戏之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币”的半径为r）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为a的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖.,百味探究题:抛阶砖游戏,玩抛阶砖游戏的人，一般需换购代用“金币”来参加游戏.那么要问：参加者获奖的概率有多大？,显然,“金币”与阶砖的相对大小将决定成功抛中阶砖的概率.,分析:设阶砖每边长度为a,“金币”直径为d.,a,若“金币”成功地落在阶砖上，其圆心必位于右图的绿色区域A内.,问题化为:向平面区域S（面积为a2）随机投点（“金币”中心），求该点落在区域A内的概率.,S,则成功抛中阶砖的概率,由此可见，当d接近a,p接近于0;而当d接近0，p接近于1.,（0da）,若da,你还愿意玩这个游戏吗？,课堂小结,1.古典概型与几何概型的区别.,相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.,2.几何概型的概率公式.,3.几何概型问题的概率的求解.,