高等数学：对面积的曲面积分.ppt

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1、第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对面积的曲面积分,第十章,三、小结思考题,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例:设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想,采用,可得,求质,“大化小,常代变,近似和,求极限”,的方法,量 M.,其中,表示 n 小块曲面的直径的,最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f(x,y,z)叫做被积,据此定义,曲面形构件的质量为,曲面面积为,f(x,y,z)是定义在

2、上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面积,函数,叫做积分曲面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则对面积的曲面积分存在.,对积分域的可加性.,则有,线性性质.,在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.,积分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、计算法,则,三代：,二换：,一投：,则,三代：,二换：,一投：,则,三代：,二换：,一投：,note：这里曲面方程均是单值函数。,例1,解,例2.计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的

3、顶部.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,若 是球面,被平行平面 z=h 截,出的上下两部分,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意第一类曲面积分的对称性.,例3.计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解:设,上的部分,则,与,原式=,分别表示 在平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.已知曲面壳,求此曲面壳在平面 z1以上部分 的,的面密度,质量 M.,解:在 xoy 面上的投影为,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.求半径为R 的均匀半球壳 的重心.,解:设 的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,用球坐标,例3 目录 上页 下页 返回

4、 结束,例6.计算,解:取球面坐标系,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度,h=36000 km,机动 目录 上页 下页 返回 结束,运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.,(地球半径 R=6400 km),解:,建立坐标系如图,覆盖曲面 的,半顶角为,利用球坐标系,则,卫星覆盖面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为,由以上结果可知,卫星覆盖了地球,以上的面积,故使用三颗相隔,角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球,全表面.,说明:此题也可用二重积分求 A(见下册P

5、109 例2).,例8.计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,分析:若将曲面分为前后(或左右),则,解:取曲面面积元素,两片,则计算较繁.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.求椭圆柱面,位于 xoy 面上方及平面,z=y 下方那部分柱面 的侧面积 S.,解:,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10,解,（左右两片投影相同）,对面积的曲面积分的定义,性质,特别，,三、小结,计算法,则,三代：,二换：,一投：,则,三代：,二换：,一投：,则,三代：,二换：,一投：,note：这里曲面方程均是单值函数。,定义:,计算:设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用球面坐标、柱面坐标、对

6、称性、重心公式,简化计算的技巧.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题,在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义.,思考题解答,是曲面元的面积,故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数.,练 习 题,练习题答案,思考与练习,P158 题1；3；4(1);7,解答提示:,P158 题1.,P158 题3.,设,则,P184 题2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P158 题4(1).,在 xoy 面上的投影域为,这是 的面积!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P159 题7.,如图所示,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P184 题2.设1.已知曲面壳,一卦限中的部分,则有().,(2000 考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,