高等数学重积分的应用.ppt
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1、,第四节,一、立体体积,二、曲面的面积,三、物体的质心,四、物体的转动惯量,五、物体的引力,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重积分的应用,第十章,1.能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性,从定积分定义出发 建立积分式,用微元分析法(元素法),分布在有界闭域上的整体量,3.解题要点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2.用重积分解决问题的方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求半径为a 的球面与半顶角为 的,内接锥面
2、所围成的立体的体积.,解:在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲面的面积,设光滑曲面,则面积 A 可看成曲面上各点,处小切平面的面积 d A 无限积累而成.,设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素),则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故有曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若光滑曲面方程为,若光滑曲面方程为隐式,则,则有,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.计算双曲抛物面,被柱面,所截,解:曲面在 xoy 面上投影为,则,出的面积 A.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、物体的
3、质心,设空间有n个质点,其质量分别,由力学知,该质点系的质心坐标,设物体占有空间域,有连续密度函数,则,公式,分别位于,为,为,即:,采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点,例如,令各小区域的最大直径,系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.,的质点,即得,此质点,在第 k 块上任取一点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同理可得,则得形心坐标:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积),得D 的形心坐标:,则它的质心坐标为,其面密度,
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