高等数学课件映射与函数.ppt
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1、第一章,函数与极限,第一章,二、映射,三、函数,一、集合,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,映射与函数,元素 a 属于集合 M,记作,元素 a 不属于集合 M,记作,一、集合,1.定义及表示法,定义 1.,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,组成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为空集,记作.,注:M 为数集,表示 M 中排除 0 的集;,表示 M 中排除 0 与负数的集.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表示法:,(1)列举法:,按某种方式列出集合中的全体元素.,例:,有限集合,自然数集,(2)描述法:,x 所具有的特征,例:整数集合,或,有理数集,p 与 q 互质
2、,实数集合,x 为有理数或无理数,开区间,闭区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无限区间,点的 邻域,其中,a 称为邻域中心,称为邻域半径.,半开区间,去心 邻域,左 邻域:,右 邻域:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是 B 的子集,或称 B 包含 A,2.集合之间的关系及运算,定义2.,则称 A,若,且,则称 A 与 B 相等,例如,显然有下列关系:,若,设有集合,记作,记作,必有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义 3.给定两个集合 A,B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,余集,直积,特例:,为平面上的全体点集,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,二、映射,
3、1.映射的概念,某校学生的集合,学号的集合,某班学生的集合,某教室座位的集合,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例1.,引例2.,引例3.,(点集),(点集),向 y 轴投影,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义4.,设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规,则 f,使得,有唯一确定的,与之对应,则,称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作,元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像,记作,元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像.,集合 X 称为映射 f 的定义域;,Y 的子集,称为 f 的 值域.,注意:,1)映射的三要素 定义域,对应规则,值域.,2)元素 x 的像 y
4、 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,映射 projection像 image原像 preimage定义域 D(f)(D comes from Definition)值域 R(f)(R comes from Result),对映射,若,则称 f 为满射;,若,有,则称 f 为单射;,若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射.,引例2,3,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例2,引例2,例1.,海伦(Heron)公式,例2.,如图所示,对应阴影部分的面积,则在数集,自身之间定义了一种映射,(满射),例3.,如图所示,则有,(满射),(满射)
5、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,X(数集 或点集),说明:,在不同数学分支中,X(),Y(数集),机动 目录 上页 下页 返回 结束,f 称为X 上的泛函,X(),X,f 称为X 上的变换,R,f 称为定义在 X 上的为函数,映射又称为算子(Operator).,有不同的惯用名称.例如,泛函 functional,变换 transformation,函数 function,2.逆映射与复合映射,(1)逆映射的定义,定义:,若映射,为单射,则存在一新映射,使,习惯上,的逆映射记成,例如,映射,其逆映射为,其中,称此映射,为 f 的逆映射.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)复合映射
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