高等数学课件D89二元泰勒公式.ppt

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1、2023/10/27,多元函数,*第九节,一、二元函数泰勒公式,二、极值充分条件的证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二元函数的泰勒公式,第八章,2023/10/27,多元函数,一、二元函数的泰勒公式,一元函数,的泰勒公式:,推广,多元函数泰勒公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/27,多元函数,记号,(设下面涉及的偏导数连续):,一般地,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表示,表示,2023/10/27,多元函数,定理1.,的某一邻域内有直,到 n+1 阶连续偏导数,为此邻域内任,一点,则有,其中,称为f 在点(x0,y0)的 n 阶泰勒公式,称为其拉格,朗日型余

2、项.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/27,多元函数,证:令,则,利用多元复合函数求导法则可得:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/27,多元函数,一般地,由,的麦克劳林公式,得,将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/27,多元函数,说明:,(1)余项估计式.,因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,在某闭,邻域其绝对值必有上界 M,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/27,多元函数,(2)当 n=0 时,得二元函数的拉格朗日中值公式:,(3)若函数,在区域D 上的两个一阶偏导数,恒

3、为零,由中值公式可知在该区域上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/27,多元函数,例1.求函数,解:,的三阶泰,勒公式.,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/27,多元函数,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/27,多元函数,时,具有极值,二、极值充分条件的证明,的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且,令,则:1)当,A 0 时取极大值;,A 0 时取极小值.,2)当,3)当,时,没有极值.,时,不能确定,需另行讨论.,若函数,定理2(充分条件),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/27,多元函数,证:由二元函数的泰

4、勒公式,并注意,则有,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/27,多元函数,其中,是当h 0,k 0 时的无穷小量,于是,(1)当 ACB2 0 时,必有 A0,且 A 与C 同号,可见,从而z0,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/27,多元函数,从而 z0,(2)当 ACB2 0 时,若A,C不全为零,无妨设 A0,则,时,有,异号;,同号.,可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/27,多元函数,+,+,若 AC 0,则必有 B0,不妨设 B0,此时,可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当ACB2 0 时,若 A0,则,若 A0,则 B0,为零或非零,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/27,多元函数,此时,因此,作业P67 1,3,4,5,第十节 目录 上页 下页 返回 结束,不能断定(x0,y0)是否为极值点.,