高等数学解题方法上.ppt

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1、1,高等数学方法,主讲教师:王升瑞,第一讲,2,唯有奋斗,最风流!,惜时如金,3,此刻打盹，你将做梦，,学习时的痛苦是暂时的，,未学到的痛苦是终身的；,学习这件事，不是缺乏时间，,学习不是人生的全部，,请享受无法回避的痛苦；,哈佛图书馆的训诫,但是人生的一部分;,只有比别人更早，更勤奋的努力，,此刻学习，你将圆梦；,而是缺乏努力；,学习也无法征服，还能做什么呢？,才能尝到成功的滋味；,4,谁也不能随随便便成功，,狗一样地学习，,绅士一样地玩；,今天不走，明天要跑；,教育程度代表收入；,哈佛图书馆的训诫,没有艰辛，便无所获。,它来自彻底的自我管理和毅力；,即使现在，对手也不停地翻动书页；,5,培

2、根说：历史使人聪明，诗歌使人机智，,数学使人精细。,马克思：一门科学只有当它达到了能够成功地运用,数学，才算真正发展了。,伽利略认为：宇宙像一本用数学语言写成的大书，,如果不掌握数学的语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，,华罗庚：数学是最宝贵的研究精神之一。,科学家语录,什么也看不清。,勤能补拙是良训，一分辛苦一分才。,6,华罗庚（1910-1985）,“聪明在于勤奋,天才在于积累”,“学而优则用,学而优则创”,“由薄到厚,由厚到薄”,注意问题：认真听课，扼要记录，多做题目，总结规律。,7,一提到数学，,很多人首先想到的是复杂的公式、,大量的计算、漫天的数字数据、,还有百思不得其解数,学题。,对数学

3、产生畏惧、反弹心理。.,这与中国的高中教育偏重于对于知识的灌输，,而非对于知识的掌握密切相关。,基于应试的压力，,数学,教育尤其容易演变为固定类型的题海战术，,某种意义上的死记硬背，,而非激发学生的创造性思维，,这在根本上就是与数学教育相背道而驰的。,甚至成为,这样使学生,8,其实数学背后的思想，,精髓。,数学的证明方法才是数学的,都是约定俗成、极少歧义的概念。,数学学习关注的是逻辑推演能力。,数学是一种,表述简洁、清晰、歧义较少的逻辑体系。,在数学中，,不仅各种数字、函数，,就连加、减、乘、除，大于、,小于、等于，以及指数、导数、积分等符号本身，,也,用清晰、直观的坐标或图形表达比较复杂的逻

4、辑关系。,而几何方法，,更是能,学习的目的是得到某种确定感和安全感，,就是一个战场，身处战场绝对不是一安全的事，,并且上学有,利于得到某种确定感和安全感。,不是为了考高分念书，,而是为了不逃避痛苦与讨厌的事。,生活本质上活脱脱,9,科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙,是由必然王国通向自由王国的桥梁。,数学方法是数学的灵魂,高等数学方法（上）,10,参 考 书,张晓宁、李安昌：高等数学方法 中国矿业大学出版社，2002.,11,目 录,第一讲 高等数学中的分析问题和解决问题 方法第二讲 研究函数与极限的基本方法第三讲 导数的计算方法及微分中值定理应用第四讲 导数应用的方法第五讲 积分学的概念、性质

5、和不定积分的 计算法第六讲 定积分的计算、证明和解应用问题 的方法第七讲 试题类型及解题方法分析,12,前言,一.为什么要学“高等数学方法(参考前言第一段),1.科学方法的重要性,科学,是什么,为什么:,技术,做什么,怎么做:,科学方法,桥梁与钥匙。,反映自然、,社会、思维的客观规律的分科的,知识体系。,进行物资资料生产所凭借的方法和能力。,13,数学,思维的体操,科学的语言,生活的需要,(思路),(表达),(应用),数学方法,对数学规律的认识,思维方法,解题方法,(是数学的灵魂),2.数学方法的含义,14,二.“高等数学方法”的结构与学习方法,(参考前言第二、三段),第一部分(第一至第七章)

6、,每节包含:方法指导,实例分析,相关问题,第二部分(第八至第十一章),包括综述和提高,(从古典数学向近代数学靠拢),学习方法:,1.掌握数学内容和数学方法相结合；,2.重视分析问题和解决问题的方法；,3.学习要纵横结合,着眼于提高数学素养。,15,第一讲,高等数学中的 分析问题 和 解决问题 方法,16,一.数学模型及数学建模方法(P511,第一节),数学模型,客观实际问题内在规律性的数学,具有形式化、符号化、简洁化的特点.,是一种高度抽象的模型.有狭义和广义两种解释.,数学建模方法,实验归纳法,理论分析法(P514),物理模型,数学模型,求解和分析,结构.,许多物理中的概念都要借助于高等数学

7、中的,数学结构才能说的清楚。,17,可无限逼近,例如,为什么用,及,语言定义极限?,用圆内接正多边形面积逼近圆面积A.,圆内接正n边形的面积为,(正整数),当,时,有,记作,精度要求,边数足够多,找出,利用极限知识可求出:,18,测量圆面积,直接观测量为r,间接观测量为A.,半径真值为,面积真值为,测量圆半径得,计算圆面积为,任给精度,要使,寻找精度,让,记作,19,再如,椅子稳定问题(P515P516),假设:四条腿一样长;地面为连续曲面.,建模:,设 A,C 两脚与地面的距离之和为,B,D 两脚与地面的距离之和为,不妨设,且对任意,有,证明存在,使,20,证明:设,又,由连续函数零点定理可

8、知,存在,使,即,又知,所以,思考:对长方形板凳的稳定问题如何考虑?,提示：,相邻两脚之和，并旋转1800。,21,二.几种常用的分析问题的方法(P444-455),1.简化方法 2.直观分析法3.逆向分析法 4.类比法,1.简化方法,复杂问题,简单问题,分解法变换法换元法递推法转化法,22,常用几个的初等函数公式,23,24,单调递减。,提示:令,则转化为讨论下述函数,在 t 0 时单调递减.,注意,说明 1.,与,具有相同的极值点,故可用后者代替前者讨论极值,2.有些复合函数的单调性问题,可利用组成它的简单,例1.证明,问题与单调性问题.,函数链的单调性传递得出.如 P445例1.,25,

9、设,求,提示：将函数化为,则,例2.,26,2.直观分析法,通过特例或图形，寻找规律、方法和结论.,与几何形体有关的问题应尽量画图寻求启示.,有关几何应用画出图形找几何关系.,填空题和选择题可用增强条件的方法找结论.,27,的图形关于,例1.设定义在实数域上的函数,直线,及,对称,试证,为周期,函数.(P.447 例4),直观分析:,任取一个实数,因此有,是周期为,的函数.,它关于直线,的对称点为,而,关于直线,的对称点为,显然可猜想,28,的图形关于,例1.设定义在实数域上的函数,直线,及,对称,试证,为周期,函数.(P.447 例4),证:,有,29,拉格朗日中值定理,(1)在区间 a,b

10、 上连续,满足:,(2)在区间(a,b)内可导,至少存在一点,使,思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立.,证毕,30,渐近线,若,则,有水平渐近线,若,则,有垂直渐近线,若,则,有,斜渐近线,31,例2.如何求函数,的斜渐近线,分析:,由图可知,若曲线,有斜渐近线,则必有,从而,32,例如,求曲线,的斜渐近线。,解:,所以曲线有斜渐近线,33,的斜渐近线方程。,解,所求 斜渐近线方程为,例3、求曲线,2005考研,34,练习、曲线,渐近线的条数（）；,A、,1

11、；,B、,2；,C、,D、,3.,则,为垂直渐近线；,，则,为水平渐近线，,解,2012考研,故没有斜渐近线。,35,例4.求笛卡儿叶形线,的渐近线.,(P100 例13),解:令 y=t x,代入原方程得曲线的参数方程:,因,所以笛卡儿叶形线有斜渐近线,即,36,在,上连续,在,内,存在,连接两点,的直线交曲线,于,且,试证至少存在一点,使,提示:如图所示,有,在,上应用Rolle定理。,对,（P118 题7）,例5.已知,37,逆向思维,反推 执果溯因,反证 利用正命题与逆否命题等价，,反例 找反例说明原命题不正确,3.逆向分析法,多用于否命题。,38,设函数 在 0,1 上二阶可导,且,

12、证明至少存在一点,使,提示:,设辅助函数,在0,1上满足 Rolle 定理,可知有,再对 F(x)在,从结论入手,注意到,利用,上用 Rolle 定理.,例1.,39,在 上连续,在 内可导,且,试证存在 使得,提示:,转化为证,上满足 Lagrange 定理条件,使,则只需证明,可见只要对,上用 Cauchy 中值定理.,(P450,考研98),由于,在,则有,及,在,例2.设函数,40,无实根.(P451 例7),提示:,用反证法.假设有实根,代入,上式两边异号,矛盾,假设不真!,利用,显然,则有,例3.证明方程,41,类比是找相似性,是发现问题和解决问题的重要方法。,4.类比方法,42,

13、计算极限,提示:,类比下列极限,例 1,(P453 例9),43,计算极限,提示:,类比下列极限,例 1,(P453 例9),44,利用Lagrange 微分中值定理易推出:,例2.证明下列不等式:,45,提示:将不等式改写为,设,易证,46,高等数学方法,主讲教师:王升瑞,第二讲,47,三.几种常用的证题方法,1.分析综合法,2.设辅助函数法,3.反证法,证明题是考核基本理论、基本运算掌握情况和逻辑推理能力的重要题型,通过“执果溯因”寻找证明的途径,利用“由因导果”写出证明过程.,1.分析综合法,48,设 为正实数,试证,提示:,为,上的上凹函数,在 上，,(P473 例12),例1.,满足

14、,49,在 上可导,且,证明至少存在,一点 使,提示:,因为,可考虑对函数,在区间 a,b 上用 Cauchy 中值定理.,(P81 例10),例2 设,50,利用辅助函数证明等式或不等式是一种重要的证明方法.如:,寻找辅助函数一般用逆向分析法.,通过设辅助函数,利用微分或积分中值定理 证明等式或方程零点的存在.,通过讨论辅助函数的单调性或最值,证明 相关不等式.,2.设辅助函数方法,51,例1.设,在 上连续且可导,并有 n 个不同的,零点,证明:对任意常数 a,在 上至少有,提示:设辅助函数,n-1 个不同的零点.,52,设函数 和 在 上二阶可导,且,提示:,只要证,且,依据乘积导数法则

15、想到设辅助函数,(用反证法),再证明,上满足 Rolle 定理条件,试证至少存在一点,使,(P475 例15,考研95),例 2.,即,53,设,求证,提示:,方法1.设,证明它在,单调增;,方法2.设,证明它在,单调减。,例3.,54,3.反证法,反证法是一种逆向分析方法,是通过否定命题的,结论,引导出与题设条件或已知结论矛盾的结果来证明,明原命题的正确性.,反证法多适用于直接推证时已有知识点较少或比较,困难的命题.,如果所证结论中含有,“不可能”、,“不存在”、,“至多”、,“至少”、,“唯一”、,“大于”或“小于”,等字眼时,一般多考虑用反证法.,55,例1.,证明 不存在(为自然数).,提示:,假设,则,矛盾,(P474 例13),56,设 在 上存在二阶导数,且,又,试证在 内,提示:,假设存在,使,则由 R0lle 定理,有,使,再对,在,上用 Rolle 定理,就有,使,矛盾!,(P474 例14),例2.,