高等数学第十二章微分方程第三节齐次第四节一阶线性.ppt

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1、,第十二章 微分方程,第三节,上页 下页 返回 结束,齐次方程,如果一阶微分方程,中的 f(x,y)可以写成,则称该方程为齐次方程.,f(x,y)是 x,y 的齐次函数特点:f(tx,ty)=f(x,y),齐次方程,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替 u,得原方程的通解.,的解法:,分离变量:,上页 下页 返回 结束,例1.解微分方程,解,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(C 为任意常数),上页 下页 返回 结束,例2.解微分方程,解,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,注 显然 y=x 也是原方程的解,但在,(C 为任意常数),求解过程中丢失了

2、.,上页 下页 返回 结束,方程的全部解是,和 y=x.,解齐次方程的关键是作变量代换：,其实，在解微分方程时，常需作变量代换.,例如,上页 下页 返回 结束,可得 OMA=OAM=,例3.在制造探照灯反射镜面时,解 设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线,绕 x 轴旋转而成.,过曲线上任意点 M(x,y)作切线 M T,由光的反射定律:,入射角=反射角,取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO=OM,要求点光源的光线反,射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.,而 AO,于是得微分方程:,上页 下页 返回 结束,利用曲线的对称性,不妨设 y 0,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物

3、面.,于是方程化为,(齐次方程),上页 下页 返回 结束,第十二章 微分方程,第四节,上页 下页 返回 结束,一阶线性微分方程,解一阶线性微分方程的常数变易法,伯努利方程,一阶线性微分方程的通解公式,一、一阶线性微分方程,标准形式:,若 Q(x)0,称为非齐次方程.,1.齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程;,上页 下页 返回 结束,非齐次项,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.非齐次方程,常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,上页 下页 返回 结束,例1.解方程,解 对应的齐次方程,或,积分得,即,用常数变易法：令,则,代入非齐次方程

4、得,积分，得,故原方程通解为,上页 下页 返回 结束,例2.,解 关于y,y不是线性的,但关于x,dx/dy是线性的,变形为,通解,例3.,解 令,原方程化为,解得,即,积分，得,上页 下页 返回 结束,例4.求方程,(x 0)的通解.,解 注意,由通解公式,得,故方程可,变形为,所求通解为,上页 下页 返回 结束,二、伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),上页 下页 返回 结束,例5.求方程,的通解.,解 令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解:,上页 下页 返回 结

5、束,内容小结,1.一阶线性方程,解法1 先解对应的齐次方程,再用常数变易法.,解法2（重点）利用通解公式,化为线性方程求解.,2.伯努利方程,上页 下页 返回 结束,思考与练习,判别下列方程的类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,上页 下页 返回 结束,P286 13(1,4,5);14(2,3);17(1,2);18;22(1,3,4);23(1);28;31(1);33,作 业,上页 下页 返回 结束,备用题,求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,利用公式可求出,上页 下页 返回 结束,(雅各布第一 伯努利),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版巨著猜度术,件大事,利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史上的一,此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.,而伯努,上页 下页 返回 结束,