高等数学第九章重积分第三节三重积分.ppt

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1、,三重积分的概念,第九章 重积分,第三节,上页 下页 返回 结束,三重积分,三重积分计算,直角坐标情形,柱面坐标情形,球面坐标情形,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想,采用,引例:设在空间有界闭区域 内分布着某种不均,匀物质,求含在 内物质,可得,“分割,作近似和,求极限”,解决方法:,的质量 M.,体密度函数为,上页 下页 返回 结束,定义.设,存在,为体积元素,任意分割 为:,任取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下,三重积分具有与二重积分类似的性质.,性质:,例如,如果,中值定理.,在有界闭域 上连续,则存在,使得,V,为 的体积,上页 下页 返回 结束,称

2、,二、三重积分的计算,1.利用直角坐标计算三重积分,方法1.投影法(“先一后二”),方法3.截面法(“先二后一”),方法2.三次积分法,上页 下页 返回 结束,方法1.投影法,上页 下页 返回 结束,将积分区域向 xOy 坐标面投影,则,得平面区域D,于是,(“先一后二”),.,.,由投影法(“先一后二”),方法2.三次积分法,设平面区域,把二重积分化成二次积分,得三次积分,上页 下页 返回 结束,其中 为三张,例1.计算三重积分,所围成的闭区域.,解一,坐标面与平面,上页 下页 返回 结束,(x,y)D,:,D,解二,上页 下页 返回 结束,投影区域,因此,例2.设,计算,解 先一后二,再利

3、用定积分关于积分区间的对称性和被积函数的奇偶性,得,原式=,奇函数,上页 下页 返回 结束,另解 因为积分区域关于xOy坐标面对称,且被积函数关于z为奇函数,因此,原式=0.,方法3.截面法,上页 下页 返回 结束,先确定积分区域中z 坐标的变化范围,则,再作截面,得,(“先二后一”),例3.计算三重积分,解,用“先二后一”,上页 下页 返回 结束,小结:直角坐标情形三重积分的计算方法,方法1.“先一后二”,方法3.“先二后一”,方法2.“三次积分”,具体计算时应根据被积函数以,三种方法各有特点,及积分区域的特点灵活选择.,上页 下页 返回 结束,2.利用柱面坐标计算三重积分,为点M 的柱面坐

4、标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,上页 下页 返回 结束,称,在柱面坐标系中体积元素为,因此,适用范围:,1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;,2)被积函数用柱面坐标表示时变量能被分离.,上页 下页 返回 结束,其中,例4.计算三重积分,解 在柱面坐标系下,及平面,为由柱面,所围成的右半圆柱体.,上页 下页 返回 结束,例5.计算三重积分,解 在柱面坐标系下,所围成.,与平面,其中由抛物面,原式=,上页 下页 返回 结束,解,的交线为,z=1平面上的圆,关于柱面坐标系，两曲面,得,上页 下页 返回 结束,3.利用球面坐标计算三重积分,称为点M 的球面坐标

5、.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,上页 下页 返回 结束,如图所示,在球面坐标系中体积元素为,因此,其中,适用范围:,1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,2)被积函数用球面坐标表示时变量能互相分离.,上页 下页 返回 结束,例7.计算三重积分,解 在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,上页 下页 返回 结束,例8.求曲面,所围立体体积.,解 由曲面方程可知,立体位于xOy面上部,利用对称性,所求立体体积为,yOz面对称,并与xOy面相切,故在球坐标系下所围立体为,且关于 xOz,上页 下页 返回 结束,1.将,用三次积分表示,其中由,所,提示:,思考与练习,六个平面,围成,上页 下页 返回 结束,2.设由锥面,和球面,所围成,计算,提示:,利用对称性,用面球坐标,上页 下页 返回 结束,3.计算,其中,利用对称性,上页 下页 返回 结束,作 业,P109 16；17；18;19；20;23；24;25;33,上页 下页 返回 结束,