高等数学微积分第四章第5节.ppt

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1、第五节 可降阶的二阶微分方程,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,四、可降阶二阶微分方程的应用举例,一、型的微分方程,解法,特点 右端仅含有自变量 x,只要连续积分 二次即得通解.,例 1,解,逐次积分的解法可用于解高阶微分方程,只要连续积分 n 次即得含 n 个独立任意常数的通解.,解,二、型的微分方程,特点：,解法：,代入原方程,化为关于变量 x,P 的一阶微分方程,关于 p(x)的一阶方程,设其通解为,即,再次积分,得原方程的通解,解,代入原方程,得,解线性方程,得,两端积分,得原方程通解为,例 1,解,代入原方程,得,解线性方程,得,两端积分,得原方程通解为,例2,解

2、,代入原方程,得,解线性方程,得,例 3,两端积分,得原方程通解为,故所求原方程的解为:,三、型的微分方程,特点：,解法：,代入原方程,化为关于 p(y)的一阶微分方程,设其通解为,即,分离变量后积分,得原方程的通解,解,代入原方程得,故原方程通解为,例 1,即,解2,从而通解为,例 1,解3,原方程变为,两边积分,得,原方程通解为,例 2,解,代入原方程得,故原方程通解为,解2,将方程写成,积分后得通解,例 2,解,代入原方程得,故曲线方程为,解,例4,解初值问题,令,代入方程得,积分得,即,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,四、可降阶二阶微分方程的应用举例,课本 Page 277279 例4、例5,五、小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,思考与练习,1.方程,如何代换求解?,答:令,或,一般说,用前者方便些.,均可.,有时用后者方便.,例如：,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?,答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.,(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.,练 习 题,练习题答案,