高等数学多元函数微分法及其应用.ppt
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1、1/51,多元函数微分法及其应用,第七章,习题课,一、关于多元函数极限的题类,二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类,三、关于偏导数、全微分计算的题类,四、关于多元函数微分学应用的题类,1.几何应用.,2.极(最)值,2/51,本章基本概念及其关系,连续性,偏导数存在,方向导数存在,可微性,1.多元函数的定义、极限、连续,定义域及对应规律,判断极限不存在及求极限的方法,函数的连续性及其性质,2.几个基本概念的导出关系,3/51,【必须熟练掌握本章以下几个概念之间的关系】,4/51,一、关于多元函数极限的题类,二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多,计算也更困难:,【例1】,【解】,取路
2、径 y=k x,则,与k有关,故不存在.,【例2】,初等函数.(1,0)定义域内点.连续.代入法,【例3】,换元,化为一元函数的极限,5/51,【阅读与练习】,求下列极限,【解】,【提示】可以引用一元函数求极限的各种技巧,6/51,【例4】,【解】,由于,且,故原极限=0,夹逼准则,(4)【法】,【法】,夹逼准则,7/51,二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类,1.一般来说,讨论二元函数z=f(x,y)在某点的连续性、可偏导性以及可微性时,都要用相应的定义判定;尤其是分段函数在分界点的上述“性态”就是要用各自的定义判断.,连 续,可偏导,可 微,内含三条,缺一不可,包括高阶偏导数定义等
3、,8/51,2.【二元函数在区域内的偏导数】,9/51,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如u=f(x,y,z)在(x,y,z)处,3.【多元函数的偏导数】,10/51,4.【偏导数的几何意义】,如图,11/51,12/51,【5.几何意义】,13/51,【例1】,【解】,14/51,【解】,15/51,【证】,原结论成立,【证完】,16/51,例4.计算函数,在点(2,1)处的全微分.,解:,例5.计算函数,的全微分.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,?,17/51,作业 p100 同济p62,p69,18/51,三、关于高阶偏导数、全微分计算的题类,二阶纯偏导数,二阶混合偏导数
4、,1.【高阶偏导数的定义】,19/51,【定义式】,其余类推,(2)同样可得:三阶、四阶、以及n 阶偏导数。,(3)【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。,【解】,20/51,【解】,21/51,例3.求函数,解:,注意:此处,但这一结论并不总成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的二阶偏导数及,22/51,(4)【问题】,具备怎样的条件才能使混合偏导数相等?,即混合偏导数与求导次序无关.,23/51,2.【多元复合函数求导法则】,(1)【可导充分条件】内层函数偏导存在,外层函数偏导连续,(2)【复合函数求导链式法则】,全导数,24/51,例1.设,解:,机动 目录 上页 下页
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