高等数学北大第二版65复合函数与隐函数的微分法.ppt

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1、1.复合函数的微分法,设函数，,于是,是 和 复合而成的复合函数，其中u和v为中间变量。,6-5 复合函数与隐函数的微分法,而u，又都是 的函数,定理1：设函数 在点 处有偏导数，在相应的点(u,v)处有连续的偏导数，则复合函数 在点 处有偏导数，其满足：,链式法则如图示,复合函数的求导法则又形象地称为锁链法则或链规则。,证,.,上述关系,对一切可能的增量 均成立，,特别地对于由 引,起的偏增量,也是成立的.,另一方面，由(6.4)式得,因此,类似地,链式法则如图示,例1 设,解,例2 设,解,解,则,称之为全导数。,（1）中间变量是一元函数,链规则也适用于下列情形:,（2）中间变量是三个,则

2、,(3)既有中间变量又有自变量,则有,不同,表示固定 y 对 x 求导,表示固定 u 对 x 求导,例4 设,求全导数,解,解,为简便起见,引入记号,例6 设,f 具有二阶连续偏导数,求,解 令,则,例6,解,设函数,均可微,求,g,g,例,解,设函数,均可微,求,g,g,例,解,2.一阶全微分形式的不变性,定理2,证,由此可见，无论z是自变量u,v的函数或中间变量u,v的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分形式不变性.,由一阶全微分形式的不变性,有,例 6,解,3.高阶微分,如果混合偏导数连续,则,于是有:,即,当 时,在区域 内的 次微分,按牛顿二项式展开得,习题 6-5 1.(1)(3)(5);2.4.6.7.8.,