高二数学对称问题课件.ppt

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1、对称问题,一.中心对称(关于点的对称),(一）点关于点的对称 点P1(x1,y1)关于点M(m,n)对称的点P2为(2m-x1,2n-y1);特别地,P(x,y)关于原点(0,0)的对称点坐标为(-x,-y).,练习:,(1)求点P(2,5)关于点Q(-3,-7)的对称点.,(2)若点A(0,-3)关于点M的对称点为B(-7,5).求M的坐标.,(二）直线关于点的对称 直线l:Ax+By+C=0关于点M(m,n)对称的直线l1的方程为A(2m-x)+B(2n-y)+C=0.,例1.求直线m:2x+3y-1=0关于点P(1,4)对称的直线n的方程.,解:(法一)直接代入上面结论,(法二)在直线m

2、上任取两点A,B.则A,B关于点P的对称点落在直线n上.,(法三)显然直线m和直线n是平行直线,因此斜率相等.,一般地：曲线f（x，y）=0关于点M（m，n）的对称曲线方程为f（2m-x，2n-y）=0 特别地曲线f（x，y）=0关于原点（0，0）的对称曲线方程为f（-x，-y）=0.,二.轴对称(即关于直线的对称),例2.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.,解(法一)设B(m,n）由点关于直线对称的定义知:,线段ABl 即;=-1,线段AB被直线l平分,即线段AB的中点,在直线l上,故有 2-5=0,(一)点关于直线的对称:,联立 解得m=9 n=-7,B(9,

3、-7),（法二）直线ABl,直线AB过点（-7，1）,直线AB的方程为y-1=-（x+7）即x+2y+5=0,由 解得,即AB的中点为（1，-3），又A（-7，1）,由中点坐标公式得B的坐标为（9，-7）.,小结:求点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0对称点Q(x1,y1)的方法:,(1)（综合求解）由点关于直线对称的定义及直线l垂直平分线段PQ得方程组:,由（1）（2）可解得x1,y1的值即对称点Q的坐标,(2)（分步求解）可先求直线PQ的方程,然后解出直线PQ与直线l的交点即线段PQ的中点M的坐标,最后利用中点坐标公式,求出对称点Q的坐标.,（3）（利用公式）点P（x0，y0）

4、关于直线Ax+By+C=0的对称点Q的坐标为,一般地：,1、点（x0，y0）关于直线y=x的对称点为（y0，x0）,2、点（x0，y0）关于直线y=-x的对称点为（-y0，-x0）,3、点（x0，y0）关于直线y=x+b的对称点为（y0-b，x0+b）,4、点（x0，y0）关于直线y=-x+b的对称点为（b-y0，-x0+b）,5、点（x0，y0）关于直线y=0（即x轴）的对称点为（x0，-y0）,6、点（x0，y0）关于直线x=0（即y轴）的对称点为（-x0，y0）,7、点（x0，y0）关于直线y=m的对称点为（x0，2m-y0）,8、点（x0，y0）关于直线x=n的对称点为（2n-x0，y

5、0）,注：当对称轴的斜率为1或对称轴与坐标轴垂直时可用上述方法直接求出对称点的坐标。,（二）直线关于直线的对称,例3.求直线m:x-y-2=0关于直线l:3x-y+3=0对称的直线n的方程.,解:,在直线x-y-2=0上任取一点如A(2,0),则A关于直线l的对称点A1 落 在直线n上,然后解出直线l和m的交点,由直线方程的两点式求出直线n的方程.,一般地：求直线关于直线对称的直线方程利用求交点和斜率；也可以转化为求点关于直线的对称点来解决。,特别地：当对称轴所在的直线与坐标轴垂直或斜率为1时可用以下结论直接代入；,常用结论:,1.直线关于原点的对称直线的方程为:2.直线关于x轴的对称直线的方

6、程为:3.直线关于y轴的对称直线的方程为:4.直线关于直线y=x的对称直线的方程为:5.直线关于直线y=-x的对称直线的方程为,三.对称问题的应用：,（一）涉及定直线l上一点P与两定点A，B的距离和（或差）的最值问题,1.若A，B两点在直线的同侧：（1）设点B关于直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的交点P使得|PA|+|PB|最小；（2）直线AB与直线l的交点P使得|PA|-|PB|最大。,2.若A,B两点在直线的异侧:(1)直线AB与直线l的交点P使得|PA|+|PB|最小;(2)设点B关于直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的交点P使得|PA|-|PB|最大.,(二)涉及角平分线及光

7、线的入射和反射问题一般都转化为对称问题来解决.,例5.已知两点A(2,15),B(-3,5),在直线l:3x-4y+4=0上找一点P,使得:(1)|PA|+|PB|最小,并求出其最小值;(2)|PA|-|PB|最大,并求出其最大值.,例6、一光线从点A(3，5)射到直线 l：3x4y+4=0 上后，反射到点B(2，3)，求反射光线所在直线方程。,解：设 A 关于 l 的对称点 A1(a,b),故所求反射光线方程为 6x+y 15=0,结论:入射光线与反射光线关于镜面直线对称,光线从A到B所经过的路程,练习题：,(1)点M(-1,3)关于直线x+y-1=0的对称点为_关于直线y=2x的对称点为_

8、 _ 关于点(9,0)的对称点为(2)直线x+2y-1=0关于直线x-y+2=0的对称直线的方程为_关于直线y=-x的对称直线为_关于直线x+3=0对称直线为_(3)直线3x-4y+3=0关于x轴对称的直线方程为_关于y轴的对称直线方程为_关于原点的对称直线方程为,(4)光线从M(-2,3)射到x轴上一点P(1,0)后被x轴反射,则入射光线和反射光线所在的直线方程分别为_若光线射到直线y=2x上呢?,(5)光线沿着斜率为 的直线l1射在斜率为 的直线l2上反射,若l1和l2的交点为(-1,2),求反射光线所在的直线方程.,(6)已知ABC的一个顶点A(4,-1),其内角B,C的平分线方程分别为

9、y=x-1和x=1,求边BC,AB所在的直线方程.,(7)直线y=2x是ABC中角C的平分线所在的直线方程,A(-4,2),B(3,1)求C的坐标,并判断ABC的形状.,(8)ABC的两条高线方程为2x-3y+1=0和x+y=0,顶点A的坐标为(1,2),求BC 边所在的直线方程.,(9)已知ABC的一个顶点A(-4,2),中线BD,CE所在的直线方程分别为3x-2y+2=0和3x+5y-12=0,求边BC所在的直线方程.,(10)已知ABC的一个顶点A(3,-1),AB边上的中线所在的直线方程为6x+10y-59=0B的平分线所在直线方程为x-4y+10=0,求边BC所在的直线方程.,(11)已知点A(2,0),B(-2,-2),在直线l:x+y-3=0上求一点P使|PA|+|PB|最小,变形:在l上求一点Q使得|QA|-|QB|最大.,(12)已知点A(4,1),B(0,4),在直线l:3x-y-1=0上求一点P使|PA|+|PB|最小.,变形:在直线l上求一点Q使得|QA|-|QB|最大.,再见,