概率论与随机过程第2章.ppt

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1、2023/10/27,概率论与随机过程,第二章 随机信号概论,随机过程的基本概念及分类随机过程的统计特性 数字特征：均值函数 mx(t)方差函数 Dx(t)协方差函数 Cxy(t1,t2)相关函 数 Rxy(t1,t2)特征函数 Fx(u)=E exp(jux(t),2023/10/27,概率论与随机过程,2-1.随机过程的概念随机事件A-事件之间的关系，事件的概率pA 及其关系。随机变量 X-f(x),F(x）,f(x,y),fX(x),fY(y),随机变量函数的概率密度/EX,DX,CovX,Y 随机过程（随机信号）。随机函数-随非随机（确定性）参数变化的随机变量。例如，X(u,v).e.

2、g.时间,空间等随机过程-随时间参数 t 变化的随机变量。记为，X(t)。1.非随机参数对应的函数值是随机变量;2.随机过程是随机函数的特例。,2023/10/27,概率论与随机过程,具体的波形不能事先预知 但必为可能波形之一所有可能波形 x 1(t),x 2(t),.x n(t).的集合构成了随机过程,例：测量接收机的输出噪声电压,2023/10/27,概率论与随机过程,随机过程的两种表达式：xi(t)是随机试验第i次的实验结果，称为随机过程的样本函数；所有xi(t)的集合 xj(t)构成随机过程,记为 X(t)xj(t)在 ti 时刻的各种可能结果的取值X(ti)，称为随机过程 X(t)在

3、ti 时刻的随机变量。所有随机变量X(ti)集合 X(ti)构成随机过程的另一表达式。即：X(t)X(ti),随机变量 X(ti),2023/10/27,概率论与随机过程,随机过程的分类,按时间和状态分类 类别 状态 时间 连续随机过程 连续 连续 离散随机过程 离散 连续 连续随机序列 连续 离散 离散随机序列 离散 离散,经过判别电路,大于门限电压为“1”,小于门限电压为“0”,2023/10/27,概率论与随机过程,按样本函数形式分类 类别 过去观测值与未来值的关系 不确定随机过程 结果不可预测（不能描述成t的函数）确定随机过程 可预测（可描述成t的函数）按统计特性、分布函数、概率密度函

4、数等分类：平稳随机过程;高斯过程;白噪声;独立随机过程马可夫链泊松过程.,2023/10/27,概率论与随机过程,随机过程的一维分布函数和密度函数,在 ti 时刻，X(ti)是一个随机变量，其分布函数记为：,其密度函数记为：,在任意 t1，t2 时刻，X(t1),X(t2)的联合密度函数表示为：,在任意 t1,tn 时刻，X(t1),.X(tn)的联合密度函数表示为：,孤立时间点的分布特性,比一维分布信息多,2023/10/27,概率论与随机过程,(2)过程X(t)为：式中a,w0 为常数，F(0,2p)上均匀分布-随相正弦波,例(1)抛硬币试验，样本空间是 S=H,T，现定义,，,2023/

5、10/27,概率论与随机过程,例3(2.4)抛硬币试验，样本空间是 S=H,T，现定义,假设出现正面和反面的概率相同，试确定X（t)的一维分布函数FX（x；0.5）,FX（x；1）,以及FX（x1,x2;0.5,1）,X(t=1/2）0 1 X(t=1)2-1,2023/10/27,概率论与随机过程,2.3 已知随机过程X(t)为 w0 是常数,X是标准高斯分布r.v.,求 X（t）的一维概率密度。解1（p233)：解2,发,解3,雅各比行列式的方法,2023/10/27,概率论与随机过程,例3(2.5):一个随机过程由如图所示的四条样本函数组成,且每条样本函数出现的概率分别为:1/8,1/4

6、,3/8,1/4,求:EX(t1),EX(t2)EX(t1)X(t2)及联合概率密度函数,解:,2023/10/27,概率论与随机过程,2.随机过程的研究方法,随机过程的特征：随机过程的研究方法：1.概率描述法：利用多维联合概率密度与分布函数的描述；2.统计平均描述法：利用数字特征：均值，方差，相关 函数，高阶矩等描述。,随机性(不同时刻为不同的随机变量),关联性(不同时刻的随机变量之间有波及性),2023/10/27,概率论与随机过程,概率描述法（微观描述）：,概率描述是从随机过程X(t)在某一个时刻ti 的随机变量 的概率密度开始描述，逐步延伸到某二个时刻ti，tj的随机变量 X(ti),

7、X(tj)的联合概率密度,直至随机过程X(t)在n个时刻n维随机变量的描述。,微观描述-利用多维随机变量的联合概率密度和分布函数对随机过程细部特征的一种描述方法。,2023/10/27,概率论与随机过程,显然，随着维数n 的增加对随机过程的描述将渐逐地清晰。理论上当n，则描述完备。然而，随着描述的深入，其复杂度将越来越高。,2023/10/27,概率论与随机过程,统计平均描述法：,统计平均描述法所关心的是:随机过程在某时刻或不同时刻的平均特征均值；偏离均值的程度方差，不同时刻随机变量之间的相关程度相关函数，等数字特征。总之，统计平均描述法是从统计平均的意义上研究随机过程的宏观特性。,2023/

8、10/27,概率论与随机过程,随机过程的数字特征：,1.均值对于任意时刻 t，随机过程 X(t)为一随机变量。故,物理意义：表示在单位电阻上消耗的直流功率。,考虑与r.v.的均值的不同,2023/10/27,概率论与随机过程,2.均方值与方差原点矩：方差：物理意义：若 X(t)为随机信号，则：在单位电阻上消耗的瞬时功率的统计平均值：瞬时交流功率的统计平均值 瞬时平均功率=瞬时交流平均功率+瞬时直流功率。,2023/10/27,概率论与随机过程,mx(t),均值方差相似，但过程显然差异很大,2023/10/27,概率论与随机过程,3.自相关函数：同一随机过程不同时刻的随机变量之间的关联性。设随机

9、过程 X(t)，则定义X(t)的 自相关函数:,t1=t2 时的自相关函数 是X(t)的平均功率,即:,是t1,t2的函数,2023/10/27,概率论与随机过程,自协方差函数:,t1=t2 时的自协方差是 X(t)的方差,即:,2023/10/27,概率论与随机过程,例1 设X(t)是一个过程,且 X(t)=At(-t)A 为0，1 上均匀分布的r.v.,试求：EX(t),及RX（t1,t2）,解(1):P28(定义出发）解（2）：性质出发,2023/10/27,概率论与随机过程,例2 设X(t)是一个过程,且确定随机变量Z=X(5),W=X(8)的均值,方差和协方差,解:,2023/10/

10、27,概率论与随机过程,4.互相关函数：不同的随机过程不同时刻的随机变量之间的关联性。设随机过程X(t)和Y(t)，则定义 互相关函数：互协方差函数：可证:,2023/10/27,概率论与随机过程,5.统计独立，不相关和正交 设X(t)，Y(t)为两个随机过程，t1,t2 为任意两时刻，两者之间的相互关系有：,(3)若，则称相互正交。,(2)若，则称随机过程X(t)与Y(t)互不相关。,若 则称X(t)与Y(t)互相 统计独立；且有,注意：上述结论同样可以描述两个随机过程在同一时刻的关系；并且也可以描述同一随机过程在同一或不同时刻的关系。,2023/10/27,概率论与随机过程,统计独立，不相关和正交三者间关系,2023/10/27,概率论与随机过程,Homework:（Oct.20),Chapter 2-1,2,6,7,8,9,10,11,