定积分存在的条件.ppt

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1、2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,1,第二节 定积分存在的条件,一、定积分存在的充分必要条件 二、可积函数类,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,2,一、定积分存在的充分必要条件,要判断一个函数是否可积?但由于积分和的不确定性和那个极限常数不易预知，因此这是极其困难的 下面即将给出的可积准则,将不确定性过渡到相对确定性,且只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,3,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,4,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,5,和式:,2023/10/27,福州大学数学与计算机学

2、院,6,所以，可积性理论总是从上和与下和入手,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,7,定理在原有的分割T中加入新的分点，则 上和不增，下和不减即，在原有分割T中加入新的分点后得新分割T，它对应的上和与下和分别记为,2.达布和的性质,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,8,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,9,其中,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,10,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,11,定理对任意分割T，都有,证,这里M,m分别表示f(x)在a,b的上确界和下确界,即，上和必有下界,下和必有上界,2023/10/27,福州

3、大学数学与计算机学院,12,定理对于任意两个分割T与T，有,任一分割T 的下和都不超过另一分割T的上和,任一分割T 的上和都不小于另一分割T的下和,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,13,第一式得证，同理可证第二式.,又因为,所以,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,14,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,15,为了证明达布定理,先介绍下面性质(证式中提炼出,为方便),2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,16,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,17,类似可证第二式.,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,18,显然得证

4、.,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,19,证（只证第一式),要证:,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,20,对任意分割T,由性质的推论有,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,21,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,22,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,23,3.定积分存在的充分必要条件,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,24,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,25,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,26,Riemann可积的第一充要条件,f(x)在a,b上Riemann可积,其中：

5、,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,27,定理也可叙述成如下形式,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,28,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,29,充分性,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,30,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,31,Riemann可积的第二充要条件,f(x)在a,b上Riemann可积,其中：,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,32,注意到,证明:,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,33,于是易知 f(x)在a,b上Riemann可积,2023/10/27,福州大学数学与计算机学

6、院,34,二、可积函数类,注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,35,证 根据在闭区间上连续函数性质，,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,36,从而导致,注意到一致连续性在本定理证明中所起的重要作用,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,37,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,38,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,39,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,40,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,41,注:单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性,于是有,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,42,例2 试用两种方法证明函数,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,43,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,44,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,45,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,46,例3 证明黎曼函数,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,47,2023/10/27,福州大学数学与计算机学院,48,