行列式线性代数.ppt

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1、经济数学基础,线 性 代 数,主讲教师:王 斌,开课院系:重庆工商大学理学院,E-mail:,第 一 章 行 列 式,n 阶 行 列 式 行 列 式 的 性 质 行 列 式 的 行(列)展 开 Cramer 法 则,难点:行列式的展开、Cramer 法则,重点:行列式的性质、行列式的展开（计算）,1.1 n 阶 行 列 式,一、行列式的引入,两式相减消去,得,当 时,方程组的解为,类似地消去,得,称为二阶行列式,记为,定义1 由四个数排成的数表 所确定的表达式,则二元线性方程组的解为,若记,即主对角线法则,例1 解二元线性方程组,解:,定义2 由三行三列的数表所确定的表达式称为三阶 行列式,记

2、,注意:1)对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。,如果三元线性方程组,系数行列式,2)三阶行列式包括 3!项,且每一项都是位于不同行、不同列的三个元素的乘积,其中正负各三项。,则方程组的解为:,例2 求解方程,解:方程左端的行列式,由对角线法则,即,解得,例3 解线性方程组,解:由于方程组的系数行列式,同理可得,方程组的解为:,即,二、排列及逆序数,定义3 将 n 个不同的元素组成一个有序de序列,称为这 n 个元素的一个 n 级排列。,n 级排列的总数:,定义4 在 n 级排列中,规定由小到大为一个标准次序,若两个元素与标准次序不同则构成一个逆序。排列 中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。,

3、逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列。,例4 求排列 32514 的逆序数。,解:在排列32514中,3 排在首位,逆序数为 0;,2 的前面比 2 大的数只有一个 3,故逆序数为1;,3 2 5 1 4,排列 32514 的逆序数,5 的前面没有比 5 大的数,其逆序数为 0,解:由于,当 时,原排列为偶排列;,当 时,原排列为奇排列。,例5 求排列 n(n-1)321 的逆序数,并讨论奇偶性。,将相邻两个元素对换,称为相邻对换。,定理1 任意一个排列中的任意两个元素经过一次对 换,排列改变奇偶性。,证明:相邻对换 任意对换;比较对换元素讨论。,定义5 在排列中,将任

4、意两个元素位置互换,其余元 素位置不变,这种变换称为对换。,注意:1)奇排列调成标准排列的对换次数为奇数;2)偶排列调成标准排列的对换次数为偶数;,3)标准排列是偶排列(逆序数为0)。,三、n 阶行列式,说明:,2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,且每项不重复的取遍所有行和列;,3)每项的正负号都取决于三个元素的下标排列。,1)三阶行列式共有 6 项,即 项;,定义6 n 阶行列式等于所有取自不同行、不同列的 n 个数的乘积的代数和,即,其中 为自然数 1,2,n 的一个排列,为其逆序数。,简记为 或。,行列式是一种特定的算式:解线性方程组;,3)每项都是位于不同行不同列 n 个元素

5、的乘积;,说明:,2)n 阶行列式是 项的代数和;,4)一阶行列式,不同于绝对值;,5)行标确定:的符号为,例6 确定下列行列式中的项的符号。,解:,所以不为零的项只有,例7 计算 上三角行列式,解:,例8 证明 对角行列式,若记,则依行列式定义,证:,求 的系数。,含 的项有两项之和,即,例9 已知,解:,故 的系数为-1。,推论1 若列标确定,行列式等于,定理 2 n 阶行列式也可定义为,推论2 行列式定义中每一项的乘积元素可按行或列 标确定标进行重排:不改变符号。,1.2 行 列 式 的 性 质,性质1 行列式与它的转置行列式相等。,记,行列式 称为行列式 的转置行列式。,证明:记,注意

6、:行列式中行与列具有同等的地位,即行列式的 性质凡是对行成立的对列也同样成立。,则,即,性质2 互换行列式的两行(列),行列式的值反号。,证明:设互换 的 i,j 行,得,即,则,推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列 式的值为零。,性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以 数 k,等于用数 k 乘此行列式。,推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面。,推论2 若行列式含有零行(列),则行列式的值为零。,性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例,则 此行列式的值为零。,性质5 行列式按某列（行）的元素拆开:,性质6 把行列式的某一行(列)的各元素

7、乘以同一 数,然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列 式的值不变。,注意:性质 6 为行列式的简化求值的常用方法。,例1 计算,解:,例2 计算,解:,行列式计算方法:1)利用定义;2)利用性质和三角形 行列式;3)行列式的展开。,例3 计算,解:此行列式的特征:行和相等。,?,讨论 a=0,a=b?,将大部分元素化为零,例4 计算,解:此行列式的特征:大部分元素为 1。,1.3 行 列 式 的 展 开,定义7 在 n 阶行列式中,划去元素 所在的第 i 行 和第 j 列,余下的 n 1 阶行列式称为元素 的 余子式,记。,称为元素 的代数余子式。,例1 求下列行列式的代数余子式。,引理 如

8、果行列式第 i 行所有元素除 外都为零,则 此行列式等于 与其代数余子式的乘积,即,注意:行列式的展开方法:利用行列式的性质在某行(列)得到尽可能多的零元:降阶求值。,证:,定理3 n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和,即,或,例2 计算,解:,评注:“化零”方法:尽量选含有 0,1 较多的行(列)。,例3 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,证:由数学归纳法,即当 n=2 时,原式成立。,设当 k=n-1 时,原式成立。,推论 行列式任一行的元素与另一行的对应元素的代 数余子式乘积之和等于零,即,证:将 换成:两行相同。,代数余子式的重要性质,同理,

9、1.4 Cramer 法 则,设线性方程组,若常数项 不全为零,则称此方程组为非齐次线性方程组;,若常数项 全为零,称方程组为齐次线性方程组。,若线性方程组的系数行列式不等于零,即,则线性方程组有唯一解:,证明:设 为系数行列式 D 的代数余子 式,则,将 n 个方程依次相加,得,即,由于原方程组与变形后的方程组等价(代数余子式数乘),则,为原方程组的唯一解。,定理4(Cramer 法则)如果线性方程组的系数行列式 则一定有解,且解是唯一的。,当 时,方程组有唯一解:,定理5 如果线性方程组无解或有两个不同的解,则它 的系数行列式必为零。,定理6 如果齐次线性方程组的系数行列式,则 齐次线性方程组仅有零解(没有非零解)。,推论 如果齐次线性方程组有非零解,则系数行列式。,Cramer 法则解方程组的条件:,1)方程个数等于未知量个数;,2)系数行列式不等于零。,适用于理论推导,例1 解方程组,解:,即,同理,由 Cramer 法则,得,解:,当D=0,即 或,原方程组有非零解。,例2 当 取何值时,下列齐次方程组有非零解？,例1 解实系数方程,解:,?,习 题 选 讲:,例2 计算行列式,解:此行列式的特征:大部分元素为 1,且变量不同。,例3 证明:,证:,解:,例4 计算,休 息 片 刻!,习题一:,1、,