管理决策模型与方法-层次分析法.ppt

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1、(适用于信息管理与信息系统、工商管理专业 30H)主讲教师：屈春艳,管理决策模型与方法（AHP部分）,第四章 层次分析法,决策的研究中存在的两种倾向：一是过分地依赖数学模型，期望对复杂的问题进行定量而精确的分析并追求大而复杂的数学模型，其结果是无法反映人们的经验因素，因而使相当多的数学模型的最优解与现实中的最优相距甚远。二是过多的偏重于行为、逻辑、推理方面的研究和分析，而忽视了把重要因素定量地反映到决策中来，以致于不能够定量描述因素之间的相关关系。正是在这种背景下，产生了层次分析理论。,层次分析法(The Analytic Hierarchy Process，简称AHP方法)是美国运筹学家教授

2、二十世纪七十年代提出的，它是一种新的定性与定量分析相结合的系统分析方法。AHP本质上是一种决策思维方式，人们往往把AHP看作一种最优化技术，归入多目标决策的一个分支，但AHP改变了以往最优化技术只能处理定量分析问题的传统观念，而率先进入了长期滞留在定性分析水平上的许多科学研究的领地。AHP最大的贡献在于提供了对非定量事件作定量分析的简便方法，而导致这种贡献的最关键突破在于对人的主观判断做出了客观的定量描述。,层次分析法的理论核心,AHP法是综合定性与定量分析，使决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化或规范化的一种方法，其理论核心是：很多复杂的系统可以简化为有序的递阶层次结构，决策问题通常

3、表现为一组方案优先顺序的排列问题，而这种排序又可以通过简单的两两比较形式导出。,层次分析法的特点,（1）思路简单明瞭，它将决策者的思维过程条理化、数量化，便于计算，容易被人们所接受；（2）所需要的定量数据较少，但对问题的本质，包含的因素及其内在关系分析得清楚；（3）可用于复杂的非结构化的问题，以及多目标、多准则、多时段等各种类型问题的决策分析，具有较广泛的实用性。,第一节 层次分析法的原理,一、AHP的基本思想 层次分析法对复杂决策问题处理的基本思想是：在对问题充分研究后首先分析问题内在因素间的联系，并把它划分为若干层次，如措施层(或方案层)、准则层（含子准则）、目标层等。措施层指的是决策问题

4、的可行方案，准则层是指评价方案优劣的准则，目标层指的是解决问题所追求的总目标，把各层间要求的联系用直线表示出来，所形成的层次结构如下图所示。,AHP的基本思想(另一种说法),以系统方法为指导，在对问题充分研究后首先分析问题内在因素间的联系，并把它划分为若干层次，然后通过两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关系，最后进行简单的数学运算，从而实现对方案进行排序的一种简洁实用的决策方法。,二、层次分析法的基本原理,复杂的决策问题往往涉及到许多因素，如社会、政治、经济、科技乃至自然环境等，因此要认识一个复杂系统就比较困难。层次分析法正是处理此类问题的有效方法。它首先提出了递阶层次结构理论，然

5、后给这种递阶层次结构进行定量描述，通过排序理论得出满足系统总目标要求的各个方案（或措施）的优先次序。因此，层次分析法的基本原理可归纳为层次的数学原理特征向量方法、递阶层次结构原理、两两比较标度与判断原理、层次排序原理。,（一）层次分析法的数学原理 特征向量方法,重量两两进行比较如下：,个物体,重量分别记为,。现将每个物体的,假设有,，它们的,物体重量两两比较结果：,若以矩阵来表示各物体的这种相互重量关系，即,上式中，,称为判断矩阵。,则有：,若取重量向量,上述事实提示我们，如果有一组物体(假设其重量总和为1)，需要知道它们的重量，而又没有衡器，那么我们就可以通过两两比较它们的相互重量，得出每对

6、物体重量比的判断，从而构成判断矩阵;然后通过求解判断,根据这一思路，对于复杂管理决策问题，通过建立层次分析模型,对于一些无法测量的因素，只要引入合理的标度，构造出判断矩阵，就可以应用这种求解判断矩阵的最大特征根及其特性向量的方法,来确定出相应各种方案、措施、政策等相对于总目标的重要性权值(因素之间的相对重要性)，从而为有关决策提供依据。,一个复杂的无结构问题可分解为它的若干组成部分或因素。例如，目标、约束、准则、子准则、方案等,按照属性的不同把这些因素分组形成互不相交的层次，上一层次的因素对相邻的下一层次的全部或某些因素起着支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系,具有这种性质的层次称为递阶

7、层次。分析建立一个有效的合理的递阶层次结构对于能否解决问题具有决定性意义。,（二）递阶层次结构原理,例:某人拟从相同配置的金长城电脑、联想电脑和托普电脑中购买一台，其决策的层次结构模型如下图所示。,（三）两两比较的标度与判断原理,而言，,为,层的因素，,则有判断矩阵如表4-1所示。其中,表示对,相对重要性的数值表现形式。,对,如，设,表41 判断矩阵,任何一个递阶层次结构，均可以建立若干个判断矩阵，判断矩阵数目是该递阶层次结构图中，除最低一层以外的所有各层次的因素之和。对于两两比较的比率采用什么标度，也即判断比率问题。层次分析法采用的标度是1-9标度法，如表4-2 所示。,表42 标度方法,A

8、HP从决策角度提出社会经济因素的测度方式。在其测度过程中存在两种标度：一种是规定性标度，它用于在某一准则下两个元素相对重要性或优劣的测度，属于比例标度，标度值为19之间的整数及其倒数，测量方法是两两比较判断并赋值，其结果表现为正的互反矩阵。另一种标度是导出标度，用于被比较元素相对重要性程度的测量，标度值为0，1区间的实数，通过计算判断矩阵的特征向量导出测度结果，它涉及AHP的排序理论(后面的内容将详细叙述)。,(1)AHP测度是通过两两比较判断给出的，在进行这种判断的时候，被比较的对象在它们所具有的某种属性特征上应该是比较接近的，否则定性分析将没有什么意义，而且测量也缺乏必要的精度。在估计事物

9、的区别时，可以用五种判断很好表示其特征的重要程度(或强弱程度)，即同等重要、较重要、重要、很重要、极其重要(或相等、较强、强、很强、绝对强)。当需要更高精度时，还可以在相邻判断之间做出比较，这样就有九个数值，它们有连贯性，因此在实践中可以应用。同时，当一个客体比另一客体的强弱判断用19中的某个整数表达时，后者与前者相比，其判断当然可以用这些整数的倒数来表达，这是比例标度用19的整数及其倒数的理由之一。,采用19比例标度方法的依据,(2)人们对事物某种属性同时做出判断比较，并且使判断基本保持一致性时，所能感知的最小差异是多少？这个问题属于心里学范畴。显然，这个最小差异与被比较事物所涉及的属性有关

10、。很多心里学家在此方面做过实验。心里学家的实验表明在某种属性上对若干个不同物体进行辨别时，普通人能正确辨别的物体数目在59个之间。Miller认为，9个项目为心理学上的测量极限。这表明用19足以表述人在同时比较某种属性差异的档次判断，这是比例标度采取19标度的第二个理由。,(3)19标度是一种比例标度，以此为元素组成的判断矩阵，一般不具有一致性。这里的一致性包括基本一致性与次序一致性。基本一致性是指：如果要素甲比要素乙重要两倍，要素乙比要素丙重要四倍，则要素甲比要素丙重要八倍。在介绍判断矩阵时所给公式 bij bjk=bik就是基本一致性的数学表达式；所谓次序一致性是说：如果要素甲比要素乙重要

11、，乙又比丙重要，则要素甲比要素丙重要。,利用AHP的比例标度进行判断赋值，允许违反上述两类一致性。即便是在判断不一致甚至相互矛盾的情况下对被比较要素进行标度，所求得的导出标度仍然趋近于实际情况。况且这种标度方法不要求对被比较的事物有专门的知识，普通非专业人员也可使用。因此19标度在众多可采用的标度中，堪称一种最佳标度，这是选择19标度的第三个理由。,(4)如果需要用比标度19更大的数，可用聚类分析方法将因素进一步分解聚类，在比较这些因素之前，先比较这些类，这样就可使所比较的因素间的差别落在19标度范围内。,（四）层次排序原理,层次排序原理包括：层次单排序、层次总排序和一致性检验理论。,1、层次

12、单排序原理：确定各层次中因素对相邻上一层次的各因素的优先次序称为层次单排序。,层次单排序可归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题，即对判断矩阵,应因素单排序的权值。最常见的求特征向量的计算方法有和积法(求和法)、方根法、正规化求和法及特征向量法。前三种方法是近似方法，使得人们可以在使用小型计算器并保证足够精确度的条件下应用层次分析法；而最后一种方法则是严格计算特征向量的方法。,（1）求和法,计算步骤是：把判断矩阵的元素依行相加，即,（2）正规化求和法,具体步骤如下：将判断矩阵每一列进行正规化,正规化后，每列各元素之和为1；,每一列经过正规化后的判断矩阵按行相加,（3）方根法,计算步骤如下：,

13、计算判断矩阵每一行元素的乘积,（4）特征向量法,计算,取一个与判断矩阵同阶的初值向量,以上计算可以在计算机上很容易地完成。但由于这种计算并不要求太高的精确度，判断矩阵元素的给出也不是太精确，因此用前述的第二、三种方法已经足够了。,（四）层次排序原理(续),2、一致性检验原理：在计算出层次单排序结果之后，对于计算所依据的判断矩阵还要进行一致性检验。按照各因素重要程度、优先次序对比的内在规律，判断矩阵应该满足以下三个条件（称为“完全一致性条件”）。(1)对角线元素为1,(2)右上三角和左下三角对应元素互为倒数,(3)因素优先次序的传递关系,如果给出的判断矩阵完全满足这三个条件，说明评分与决策准则没

14、有矛盾。但由于客观事物的复杂性，人们在分析问题时，认识具有片面性，要达到完全一致性是非常困难的。例如甲、乙两个因素相比较，当问甲比乙的重要等级时，回答是较重要，甲得5分，而问乙比甲的重要等级时,可能回答是乙比甲稍次要，乙得0.25分，这里51/0.25分,破坏了一致性条件，判断出现矛盾,正确的应是乙得1/5分。,而一致性检验是根据矩阵理论来进行的，,可以看出CI为零，具有完全一致性，CI越大，一致性越差。对复杂问题进行判断时，做到完全一致性比较困难，但是必须要有满意一致性。何为满意一致性呢？为此，将CI与平均随机一致性指标RI进行比较(RI是通过多次随机试验，通过改变判断矩阵的数值引起CI的变

15、化，再将不同的CI平均起来而求得的。)，各阶RI值如表4-3所示。,表4-3 各阶RI的值,在这里，对于1，2阶判断矩阵，RI只是形式上的，因为1，2阶判断矩阵总具有完全一致性，当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI与同阶平均随机一致性指标RI之比称为随机一致性比率，记为CR。当CR0.10时，判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要对判断矩阵进行调整。,（四）层次排序原理(续),3、层次总排序及其一致性检验：计算同一层次上不同因素对总目标的优先次序称为层次总排序。这一过程是由最高层次到最底层次逐层进行的。,此时B层次总排序权值由表4-4给出。,其层次总排序权值分别为,下一层次B包含n个因素,它

16、们对于因素,的层次单排序权值分别为,(当Bk,与,无联系时，,),若上层次A,包括m个因素,为了评价层次总排序的一致性，需要进行与单排序类似的检验，称为层次总排序的一致性检验。这一步骤也是从高到低逐层进行的。,类似地，当CR0.10时，认为层次总排序结果具有满意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵的元素取值。,第二节 层次分析法的基本步骤和分析计算过程,一、AHP的基本步骤 层次分析方法通常用于解决一组方案或客体的优先排序问题。其基本过程，大体可以分为如下五个基本步骤：,（一）明确问题，建立层次结构,AHP在用于决策分析时，首选要弄清决策问题的范围及要求，所包含的有关因素，各因素之间的关系等，以

17、便尽量掌握充分的信息。在充分定性分析的基础上建立递阶层次结构，形成一个多层次的塔式结构。这种层次结构常用结构图来表示(见图4-1)，图中要标明上下层元素之间的关系。如果某一个元素与下一层的所有元素均有联系，则称这个元素与下一层次存在有完全层次关系；如果某一个元素只与下一层的部分元素有联系，则称这个元素与下一层次存在有不完全层次关系。层次之间可以建立子层次，子层次从属于主层次中的某一个元素，它的元素与下一层的元素有联系，但不形成独立层次。,1、建立层次结构模型应遵循的要领,(1)模型应形成目标层、若干中间层和底层的自上而下的塔式结构（完全层次联系与不完全层次联系）。目标层表示解决问题的目的，即A

18、HP欲达到的总目标。在前述例42中总目标是从候选的电脑中排出综合性能的优劣顺序，从而选出性能最优的微机。又如在图43所示的层次结构模型中，总目标是从诸候选人中排出各人综合素质的优劣顺序，继而选出综合素质最高者担任厂长。总之 目标层无异于评价候选方案或对象的综合指标，因此，作为目标层的要素只能有一个。,中间层：表示采取某种措施、政策、方案等来实现总目标所涉及的中间环节，一般可分为策略层、约束层、准则层等。中间各层要素已经是其下一层要素的聚集组合，因此各层要素的基本单位是逐层减小的。为了AHP法其它程序的顺利进行，中间各层的受到上层要素支配的要素不得超过九个。最底层：表示要选用的解决问题的各种措施

19、、政策、方案、人等。这一层的受上层支配的要素一般也不得超过九个。,(2)在层次模型中，采用作用线标明相邻两层次要素之间的联系（主层次与子层次）。如果某个要素与下一层次中所有要素皆有联系，则称这个要素与下一层次存在着完全层次联系。如在例4-1(图4-2所示模型)中准则层中各要素都与方案层具有完全层次联系；而经常可见的是不完全的层次关系，即某个要素仅与下一层次的部分要素有联系。如在上述图4-3所示的层次结构模型、下述图4-4所示的层次结构模型中准则层各要素与指标层之间就是不完全的层次关系。,层次之间可以建立子层次，子层次从属于主层次中某个要素，它的要素与下一层次的要素有联系，但不形成独立层次。如在

20、图4-4中经济价值与社会价值两要素便形成了从属于“实用价值”的子层次。对于完全与不完全层次关系以及子层次三种概念的释义很有必要，因为它牵扯到以下程序中各层排序权值的计算方法问题。,将AHP用于决策分析的层次结构模型与通常的决策分析方法对比，我们不难发现层次结构得以建立的思维过程。其中的目标层相当于一般决策的综合指标，底层是需要抉择评选的方案，次底层是影响各方案综合指标值的最基本的要素，或者说是与综合指标有关的要素指标，再往上的各层是对其下层要素的归并、聚集，照此向上直至归并为一个总目标。这种层次上的各要素类似于分类指标、结构因子的意义。,2、建立层次结构的方法,在建立了递阶层次结构模型后，就可

21、以依据两两比较的标度与判断原理逐层逐次对各层要素进行两两对比，利用评分法将比较判断的结果定量化。判断矩阵表示了针对上一层次中的某元素而言，评定该层次中各有关元素相对重要性的状况。参照图4-2所示模型，,（二）构造判断矩阵,最终形成一个m阶判断矩阵；接下来对方案层建立二元对比判断矩阵时，则应相对于准则层的每一个准则分别建立方案之间的二元比较判断矩阵，即反复回答相对于准则层Ak来说方案i与方案j孰优孰劣的问题，这里有n个方案，故需进行n2次的对比后最终形成一个n阶判断矩阵，但这样的判断矩阵总共有m个。一般地说，假定模型有K层(顶层称第一层，底层为第K层)，每层有mL(L=1,2,k)个要素，则从第

22、二层起，第L层要素二元对比建立的判断矩阵应该有mL-1(L=1,2,k)个，矩阵的阶为mL。还应该注意到，第二至第K-1层与第K层的要素进行,二元对比时提法不同。严格地讲，前者要回答的是要素i与要素j对于某些要素来说谁重要谁不重要的问题，而后者则要回答的是相对于第K-1层的某一要素，方案i与方案j孰优孰劣的问题。在一个完整的层次结构模型中，前K-1层与第K层要素间有各自独立的意义。前K-1层（从第二层起）要素是对总目标的不同分解形式，要素单位在逐层缩小，我们欲求解的各层要素的权系数实际上反映了各要素对总目标的影响程度或重要程度，因此在,中间层的二元对比时宜用要素谁轻谁重的提法。而层次模型的第K

23、层要素通常表现为一个方案集，由于在AHP中难以通过绝对标度测量方案的优劣，故只能采取AHP提供的相对标度的测量技术，最终求出各方案的相对优劣排序，因此在进行第K层二元相对比较时宜使用方案间谁优谁劣的提法。,衡量判断矩阵质量的标准是矩阵中的判断结果是否具有一致性。如果判断矩阵中的数据存在关系,则称判断矩阵具有完全一致性。但是，因客观事物的复杂性和人们认识上的多样性，可能会,产生片面性，加之我们对判断结果只能标以19以及1/9，1/7，1/5，1/3等这样一些数值，这本身就是对实际目标值的极粗略的测度，因此在确定时要求每一个判断矩阵都有完全的一致性显然是不可能的，特别是因素多、规模大的问题更是如此

24、，只要注意没有太大的矛盾就行了。因为为了考察层次分析法得到的结果是否基本合理，我们最后还要进行一致性检验。,（三）层次单排序,上一步定义的判断矩阵，只是针对上一层要素而言两两相比的评分数值矩阵，现在要把第二层起各层要素相对于其上一层的某个要素排出优劣顺序来。因此，层次单排序的目的就是根据层次单排序原理，对于上层次中的某元素而言，确定本层次与之有联系的元素重要性次序的权重值。它是本层次所有元素对上一层次而言的重要性排序的基础。,如前所述，层次单排序的任务可以归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题，,为了检验判断矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标CI；为了检验判断矩阵是否具有令人满意的一致性，

25、则需要将CI与平均随机一致性指标RI（见表4-3）进行比较，确定随机一致性比率CR，即,并根据CR的值决定是否需要调整判断矩阵，直到满意的结果为止。,表4-3 各阶RI的值,在AHP进行第三步后，我们可以发现除第二层要素间对比是求解一个判断矩阵的特征向量以外，其它层要素对比均要求解mL-1(表示第L层其上一层的要素个数)个判断矩阵的特征向量。因此只有第二层一次就完成了相对于总目标的要素优先排序，而其它层还没有完成层次总排序的任务。所以在完成了层次单排序之后，还要转入AHP的第四个程序。,（四）层次总排序,利用同一层次中所有层次单排序的结果，就可以计算针对上一层次而言的本层次所有元素的重要性权重

26、值，这就称为层次总排序。层次总排序需要从上到下逐层顺序进行。对于最高层，其层次单排序就是其总排序。某一层的层次单排序结果可表示为以上层要素为目标(列)，该层要素为对象(行)的单目标评价矩阵。藉此我们可用已求得的上一层的排序结果作为权系数，经加权组合求得该层要素相对于总目标的优劣排序。,这种排序方法可用前述的表4-4加以说明。,表45 层次总排序表,显然,即得出的层次总排序结果为归一化的正规向量。,前面我们曾经提到层次间存在着完全的或不完全的层次关系，存在着主层次与子层次的从属关系。那么在决定这样的要素单排序或总排序时，方法上有什么不同，应遵循什么要领呢？关于完全的层次关系只要按照前述步骤即可。

27、,不完全的层次关系的处理方法,以前述图43(选聘厂长)和图44(选择合适的科研项目)为例。令准则层为C，指标层为D，两例中C与D间都存在着不完全的层次关系。但两例仍有区别，图43中C层各要素所支配的D层要素没有交叉，也即D层各要素只受着C层某一要素的支配；而图44中C层各要素所支配的D层要素有交叉，也即D层要素中有的受着C层不止一个要素的支配；这种区别导致了层要素总排序的方法有所不同。,对于图43所示情况，在建立D层要素对于C层某一要素的二元对比阵时，我们无需考虑D层的全部要素，而只考虑受到C层要素支配的那些要素，因此对于C层四个要素，我们将建立四个阶数不同的判断矩阵，其阶数分别为2，3，2，

28、2，求解这四个判断矩阵的特征根及特征向量，得到的单排序结果只是个别要素的优劣系数，而没有纳入的要素其优劣系数以0看待，于是总排序时实际是将C层各权系数按照其特征向量分量确定的比例分摊开，比如准则 1 的权系数为c1，D 层头两个要素相对于,准则1的排序权系数为d11，d12，则这两个要素的总排序结果应为W1=c1d11，W2=c1d12，即W1+W2=c1(d11+d12)=c1；照此可求出D层其它要素的总排序权值。在图4-4所示情况中，我们对于C层的三个要素分别建立两个三阶和一个四阶的判断矩阵，从而求出三个特征向量来，假设对准则1的特征向量为(d11,d12,d13)；对准则2的特征向量为(

29、d21,d22,d23)；对准则3 的特征向量,为(d31,d32,d33,d34)。则可以将全部要素的单排序向量记作(d11,d12,d13,0,0,0)；(d21,d22,d23,0,0,0)；(0,0,d31,d32,d33,d34)；以C层各系数为权，将其加权组合即可得D层要素相对于总目标的总排序。,图44所示情况中子层次处理，假设D层六要素的总排序结果为Wi(i=1,2,6),对于D层的要素一，我们需建立一个二阶判断矩阵，求出子层次两个要素对于要素一的权系数，以此,为比例系数将W1分解为W11和W12两部分，于是子层次的两个要素与D层后五个要素配合成新形成的D层要素，这与原来的D层要

30、素是等价的，只是在进行下一步程序时，我们应以新形成的D层各要素的准则进行课题间的二元对比。因此D层要素成为七个，故下一步的判断矩阵也应该有七个。AHP在进行了全部各层总排序之后，还必须实施下一个步骤。,（五）一致性检验,为了评价层次总排序的计算结果的一致性，类似于层次单排序，也需要进行一致性检验。为此，需要按照前述的检验方法进行。即分别计算下列指标：,在上述各式中，CI为层次总排序的一致性指标，CIj为与aj对应的B层次中判断矩阵的一致性指标；RI为层次总排序的随机一致性指标，RIj为与aj对应的B层次中判断矩阵的随机一致性指标；CR为层次总排序的随机一致性比率。同样，当CR0.10时，则认为

31、层次总排序的计算结果具有令人满意的一致性；否则，就需要对本层次的各判断矩阵进行调整，从而使层次总排序具有令人满意的一致性。,二、AHP方法的分析计算过程,为了将AHP方法的基本步骤与方法连贯地实施一遍，下面我们以购置电脑为例说明层次分析法的分析计算过程。1、建立递阶层次结构模型(如图4-2所示)2、构造判断矩阵 准则层的功能强、价格低、易维护三条准则对于总目标来说，优先次序应根据某人购置电脑的具体要求而定。假定在电脑的使用上首先要功能强，其次要求易维护，再次才是价格低，则判断矩阵为：,在方案层，如果三种备选电脑中，金长城的性能较好，价格一般，维护一般；联想的性能最好，价格较贵，维护也是一般水平

32、；托普的性能差，但价格便宜，容易维护，则根据讨论得各判断矩阵如下:,对准则C1（功能强）来说，判断矩阵为：,对准则C2（价格低）来说，判断矩阵为：,对准则C3（易维护）来说，判断矩阵为：,3、层次单排序及其一致性检验 用正规化求和法计算判断矩阵AC最大特征根及其单排序权值的过程如下：,各列经过正规化，再求各行之和，并进行正规化，便得单排序权值（见下表）。,计算判断矩阵AC的最大特征根：,判断矩阵AC的一致性检验：,查表得,可见判断矩阵AC具有满意的一致性。,表4-3 各阶RI的值,同理可计算得到：,判断矩阵C1P单排序权值及其一致性检验结果如下：,判断矩阵C2P单排序权值及其一致性检验结果如下

33、：,判断矩阵C3P单排序权值及其一致性检验结果如下：,4、层次总排序及其一致性检验 层次总排序权值见下表：,总排序权值一致性检验如下：,从上述计算来看，联想电脑在综合分析中占优势，其次是托普，最后才是金长城。,又例：某工厂在超额完成任务后，有一笔留成利润要由领导决定如何使用，以调动职工积极性，促进生产和技术发展。可供选择的方案有“发奖金”等五种方式，衡量这些方案涉及到“是否调动了职工生产积极性”等三个方面。现在要对五种方案排出优劣顺序，以便选定一个执行方案。解：用AHP解决这一问题时，首先建立如图45所示的层次结构。,其次，根据各要素的重要关系构造判断矩阵进行计算，所得判断矩阵及相应计算结果如

34、下各表所示。(1)判断矩阵AC计算结果见下表：,(2)判断矩阵C1P计算结果见下表：,(3)判断矩阵C2P计算结果见下表：,(4)判断矩阵C3P计算结果见下表：,最后，进行总排序的计算，其结果如下表所示。,计算结果表明，为合理使用企业留成利润，对该企业来说，所提出的五种措施的优先次序为P3，P5，P2，P1，P4。领导者可根据上述排序结果进行决策，使企业留成利润得到合理的安排使用。,第三节 层次分析法的主要应用,AHP是从多元决策分析的角度提出的一种简便方法。它特别适宜于那些难于完全用定量技术进行分析的复杂决策问题。AHP无需掌握决策因素的大量有关资料，也省去了大量繁复冗长的计算，它只需对决策

35、因素相对于总目标的优劣或重要程度进行两两比较并加以标定，最终求得方案层要素相对于总目标的优劣排序。不仅是决策方案要排序，而且社会的、经济的、行为的许多现象都有排序问题。因此，AHP的排序方法稍加调整就可借用于其它方面，如资源分配问题，预测与边际排序，投入产出分析等，下面将就AHP的主要应用作一扼要的介绍。,一、AHP用于决策和评选,处理决策和评选问题是AHP的最重要的功用。而且随着社会物质生产、科学技术、文化教育、社会生活的日益发展变化，决策与评选问题经常地、大量地摆到了人们的面前。信息社会使人们增加了选择余地，人们日益关心在不同的场合下如何做出最佳的决策。生产者要面对消费者和竞争对手做出最佳

36、的经营决策；消费者在琳琅满目的商品面前要做出最佳的购买决策；学校要选择有培养前途的学生；工厂要选择德才兼备勇于改革开拓的厂长；研究所要合理选择科研课题；企事业单位要评选先进。,上述各种问题都属决策和评选之列。尽管问题的求解目的不同，但其层次结构模型却大致相同，除最后一层外，其它各层皆是与判断有关的因素排列。最后一层的要素安排视决策的目的而定，它们可以是物，可以是人，也可以是时间或地点构成的集合。比如要选购自行车、选择理想的交通工具、选购录音机等，最后一层的要素将由同类物品组成，即不同种类的自行车，不同的交通工具，不同型号的录音机等；,如果决策的目的是选厂长、选运动员、评选贡献大的教师，则最后一

37、层要素应该由候选的对象或人组成；如果要开展企业评比、高校管理水平评价，则模型的最后一层可以由若干企业或若干高校组成。如果仅对一个企业或一所高校进行评价，最后一层可安排不同的评语等级或不同的发生时间；总之，决策对象的多种表现形式使AHP具有极其广泛的适用范围。,二、AHP用于预测,AHP只需将方案层与目标层作适当调整就可用于预测问题。用于预测的AHP模型应在目标层写明欲测定的项目或对象；在方案层写明预测对象可能发生的若干数值，假定用ai(i=1,2,n)来表示这些可能的发生值，经AHP分析求解最终得到这些可能值的优先排序结果为wi，以此为权数求出ai的加权平均数，即,例如图46给出了二十世纪七十

38、年代末预测1985年石油价格的层次分析模型，借此预测1985年石油价格增加幅度及期望价格。,图中：W1世界石油消费增加；W2世界石油超产量；W3石油发现速率(十亿桶/年)；W4政治因素；W5替代资源增加速度；P1波斯湾地区的不稳定因素；P2阿以冲突的继续；P3美苏中东影响的增加；S1波斯湾地区国内社会局势；S2波斯湾地区国家间关系紧张程度；S3伊朗形势的影响；H高、M中、L低；V乐观、M中等、R有限制。假定得到的末层排序权值为(W1,W2,W3,W4,W5)，预期可能提价幅度为(a1,a2,a3,a4,a5)；则预计1985年石油提价幅度为,于是1985年石油预期价格,又如美国曾利用AHP方法

39、预测二次大战以后到70年代初期每个家庭的平均孩子数。他们建立了如下的层次模型。第一层：目标是预测美国家庭平均孩子数；第二层：受教育年限、收入、现在家庭大小、宗教信仰、母亲工作强度；第三层：第二层每一要素分为高、中、低三档；第四层：一个家庭预期孩子个数，从1到5。假如经过一系列判断分析最后得到第四层的总排序数值为(0.087，0.191，0.282，0.292，0.150)，则每个家庭孩子个数的期望值为,这一估计结果与统计学家实际调查来的平均数十分接近。,(个),三、AHP用于资源分配,社会经济建设最重要的就是把有限的资源合理地分配给最需要的部门。用AHP可以在一定的范围内解决资源分配问题。一种

40、简单的资源分配问题是在几种可能进行的项目中分配资源。AHP的做法是要根据各项目的效用和代价分别排序，各项目在效用上的排序表明了每一种项目能够满足投资目标的程度，各项目在代价上的排序则表明了每一种项目的完成要付出多少代价。,假定有n个可行的项目，资源总量为X，效用方面的排序结果为bi(i=1,2,n)，代价方面的排序结果为ci(i=1,2,n)，可以按以下分配原则进行资源的分配。(1)如果只能选定一种项目仅仅对其配备资源和组织开工，则应在效用和代价的比值中选取最大者，即若,则第k个项目为投资兴建的工程。,(2)如果我们要给予资源的项目，在某段时间内必须完成，这时应把全部资源一次性地分配下去，分配

41、的原则是依照bi/Ci的大小顺序，应按bi/Ci从大到小的顺序依次分给各项工程所需的资源，直至资源分完为止。(3)如果所有n项工程都同时上马，而且每一次项目的资源可分阶段投入，设第i个项目可分到的资源数为Xi,则各项目第一阶段的分配额可按下列线性规划确定，即,目标函数：,约束条件：,非负限制：,四、AHP作为相对系数近似估计方法,我们要确定一组物体的相对重量排序可以采取两种方式，一是将物体一一称重，假定重量分别为di(i=1,2,n)，则相对重量排序权向量为,二是用AHP方法将物体重量进行两两对比，将比较的印象和感觉量化为判断矩阵，通过对判断矩阵的求解过程得到这个相对重量的,排序向量，这里的每

42、一个分量表明了每一个物体重量占物体总重量的比例系数。有了相对重量系数，只要知道其中一个物体的绝对重量就可估计出全部物体的各自重量，因此相对系数的估计有时能得到绝对标度近似测量的结果。不仅重量的相对或绝对估计可采用AHP来解决，而且许多其它因素，如距离、亮度等也可以仿照AHP的思路来分析和测算。下面将通过两个例子来说明AHP排序方法在近似测量与估计中的作用。,(1)六座城市xi(i=1,2,6)与y城的距离估计 假如我们对六座城市与y城的距离不详知，仅仅凭着对各城市距离y城远近的印象判断，我们仍能得出判断矩阵，解得的特征向量就是六城市与y城的相对距离排序权重。假定用AHP法得到的判断矩阵如表41

43、4所示及求解结果如表415所示。,表414 判断矩阵,表415 六个城市与y城距离的测算值,结果表明，AHP求得的相对距离与实际的相对距离十分相近。,(2)Saaty的测定椅子亮度的实验 萨蒂在提出AHP的过程中曾做过一项测量试验。这个试验结果本来是利用光照度的反平方律算出的，但Saaty却是按AHP的思路来求解的。他将四把椅子一字排开，距光源分别为9、15、21、24米，让两个孩子站在椅子旁边，通过他们对椅子亮度的感觉做出两两比较判断，用19标度填满矩阵，经过求解判断矩阵的最大特征根及特征向量，得到四把椅子相对亮度分别为(0.61，0.24，0.10，0.05)以及(0.62，0.22，0.

44、10，0.06)。,按照光学反平方律计算的照度权重为(0.61，0.22，0.11，0.06)，这说明用AHP导出的结论与根据物理定律导出的结果十分接近，因此AHP是在某些近似计量中颇可以得到认可的测度方式。从以上两例不难发现AHP施用的一个重要前提，那就是被测量的对象最终的测量数值须满足归一化要求，因此一组客体相对重量、相对距离、相对亮度等等均可用AHP加以测定。显然AHP也可借用到综合评价及其它,多目标决策问题当中，作为测定各目标或指标权系数的简便方法，由于权系数须满足归一化要求，故采用AHP是具备了前提的。另外AHP也可用于投入产出分析，做出投入产出表的估计或者技术系数矩阵的估计，估计的数值皆为相对系数，同样是由于那里具备了AHP施用的前提，因而能用AHP处理的缘故，这里就不作赘述了。,